Der bekannte Steinwasenpark im Schwarzwald soll um eine Attraktion erweitert werden: ein sehr weitgespannter (Länge ca. 220m), leichter und damit auch schwingungsanfälliger Fußgängersteg, der in Form eines Spannbandes eine Rodelbahn und ein Wildgehege überbrückt. Die Schwingungsanfälligkeit des Steges ist gewünscht, der Benutzer der Brücke soll beim Begehen der Brücke das Erlebnis der Schwingung wahrnehmen. Im Rahmen dieser Untersuchung soll zum einen das allgemeine Schwingungsverhalten in Form von Eigenfrequenzen und Eigenformen untersucht werden, zum anderen sollen die Auswirkungen von Fußgänger- und Winderregung auf das Tragwerk geklärt werden.
Solche Brücken sind relativ weich und reagieren auf Schritterregung umso stärker, je besser die Schrittfrequenz in Resonanz mit den Tragwerkseigenfrequenzen ist. Hierbei ist es wichtig, sowohl die Erregung in vertikaler Richtung als auch in Querrichtung zu untersuchen. Die Beine stehen beim Gehen, seitlich immer leicht gespreizt, so dass immer auch eine horizontale Kraftkomponente hervorgerufen wird. Aufgabe des Entwurfes war es, das dynamische Verhalten der Brücke unter Fußgängereinwirkung und Windströmung zu untersuchen und die Größenordnungen der Amplituden abzuschätzen.
Die Brücke besteht aus zwei, an ihren Enden gelenkig gelagerten, Haupttragseilen, an die über Hängerseile einzelne Brückensegmente in Form eines liegenden Rechteck-Rahmens abgehängt werden. Die liegenden Rahmen werden mit einem Bohlenbelag versehen, die die Lauffläche der Hängebrücke bilden. Die Breite der einzelnen Brückensegmente variiert dabei. Bild 1 zeigt das System der Brücke.
Bild 1: System der Brücke
Die Rahmen werden an den biegesteif ausgeführten Ecken nach oben über die Hängerseile an die Hauptragseile angehängt. Das erste und letzte Rahmensegment wird jeweils an den Ecken der von der Brückenmitte abgewandten Seite gelenkig gehalten. Durch die Ausführung der Verbindungen zwischen den einzelnen Segmenten soll eine Übertragung der Normalkraft oder Biegemomente über die Rahmen zu den Auflagerpunkten hin ausgeschlossen werden. Die Verbindungsausführung erlaubt lediglich eine Übertragung der Querkräfte.
Die Modellierung der Haupttrag- und Hängerseile erfolgte mit dem im Berechnungsprogramm RASTA implementierten Seilelementen, die Rahmenkonstruktion wurde mit Biegestäben abgebildet. Die Übergangsbedingungen zwischen den einzelnen Rahmensegmenten wurden berücksichtigt. Die Querschnittswerte sowie die Knotenkoordinaten zur Abbildung der Brückenkonstruktion wurden aus der statischen Berechnung übernommen. Das Eigengewicht der Seile und wurde als gleichmäßige Streckenlast berücksichtigt. Das Eigengewicht der in der Breite variierenden Rahmenkonstruktion mit Holzbohlen wurde in eine Knotenlast umgerechnet und an den Verbindungsknoten der einzelnen Rahmensegmente aufgebracht.
Bei der Modellbildung wurde zunächst von dem Modell ausgegangen, das der statischen Berechnung zugrunde lag. Vor der dynamischen Untersuchung wurde eine statische Vorlaufrechnung nach Theorie 3. Ordnung durchgeführt, um den Ausgangs-Vorspannzustand in Kräften und Geometrie zu überprüfen. Es ergaben sich geringe Zusatzverformungen und Kraftänderungen, die im dynamischen Modell entsprechend berücksichtigt wurden. Die veränderliche Breite der Brücke wurde bei der Modellierung durch eine treppenartig angeordnete Breitenzunahme berücksichtigt, hierbei wurden 14 Einteilungen vorgenommen.
Die Rahmen werden an den biegesteif ausgeführten Ecken nach oben über die Hängerseile an die Hauptragseile angehängt. Das erste und letzte Rahmensegment wird jeweils an den Ecken der von der Brückenmitte abgewandten Seite gelenkig gehalten. Durch die Ausführung der Verbindungen zwischen den einzelnen Segmenten soll eine Übertragung der Normalkraft oder Biegemomente über die Rahmen zu den Auflagerpunkten hin ausgeschlossen werden. Die Verbindungsausführung erlaubt lediglich eine Übertragung der Querkräfte.
Die Modellierung der Haupttrag- und Hängerseile erfolgte mit dem im Berechnungsprogramm RASTA implementierten Seilelementen, die Rahmenkonstruktion wurde mit Biegestäben abgebildet. Die Übergangsbedingungen zwischen den einzelnen Rahmensegmenten werden berücksichtigt. Die Querschnittswerte sowie die Knotenkoordinaten zur Abbildung der Brückenkonstruktion werden aus der statischen Berechnung übernommen. Das Eigengewicht der Seile und wurde als gleichmäßige Streckenlast berücksichtigt. Das Eigengewicht der in der Breite variierenden Rahmenkonstruktion mit Holzbohlen wurde in eine Knotenlast umgerechnet und an den Verbindungsknoten der einzelnen Rahmensegmente aufgebracht.
Im folgenden werden die ermittelten Eigenformen und Frequenzen zusammengestellt. Zunächst wird der Frequenzgang des Systems infolge einer harmonischen Erregung am Knoten 63 und 149 (gegenüberliegende Seilaufhängepunkte) dargestellt (Bild 2) Als Amplitude ist die zugehörige Verschiebung in [m] unter einer harmonischen Erregung der Größe 1 kN über der Frequenz in Hz angegeben. Es werden zunächst die Eigenfrequenzen mit im wesentlichen vertikaler Schwingungsrichtung angegeben (Bild 3), dann folgen die mit horizontaler Schwingungsrichtung (Pendelschwingung), Bild 5 und 6. Abschließend werden noch die Schwingungsformen dargestellt, die bei einer Erregung am Steg auftreten (Bild 6 und 7).
Bild 2: Übertragungsfunktion Lf1, Knoten 63 in vertikaler Z-Richtung
Bild 3: Eigenformen bei Erregung in vertikaler Richtung
Die horizontale harmonische Erregung wird etwa in Brückenmitte angesetzt, einmal am Tragseil (Knoten 63), einmal in Steghöhe (Knoten 233). Die Last greift allerdiings nicht genau in Brückenmitte an, um zu vermeiden, dass ein Schwingungsknotenpunkt getroffen wird. Bild 4 zeigt die Übertragungsfunktion bei Angriff der erregenden, harmonsichen Kraft am Knoten 63 am Tragseil: 
Bild 4: Übertragungsfunktion Seilknoten 63, bei Lastangriff am Seil etwa in Brückenmitte
Die erste Eigenform ist eine klassische Pendelschwingung quer zur Ebene ohne Schwingungsknoten. Die zweite Eigenform zeigt einen Knotenpunkt in Feldmitte. Die dritte Eigenform ist eine Torsionsschwingung, die Seile – und damit auch beide Stegränder – bewegen sich auf Gegenphase. Bei größeren Eigenfrequenzen bleibt der eigentliche Steg praktisch in Ruhe, lediglich die Seile schwingen quer zum Steg.
Bild 5: Eigenformen in Querrichtung der Brücke bei Erregung am Seil
In einem weiterem Schritt wurde eine horizontale Erregung direkt am Steg, im Knoten 233 angebracht, dies ist der Knoten, der unterhalb des vorher verwendeten Knoten 63 liegt. Bild 6 zeigt zunächst wieder die Übertragungsfunktion. Man erkennt, dass die wesentlichen Erregungen in einem Frequenzbereich kleiner 1 Hz auftreten, oberhalb von 2 Hz treten keine wesentlichen Amplituden mehr auf. Es sind viel mehr Eigenformen als bei der vertikalen Schwingung möglich, weil die Fußgängerebene und die Tragseile unabhängig in Querrichtung schwingen können.
Bild 6: Übertragungsfunktion bei horizontalem Lastangriff am Steg
Dies deckt sich mit der vorhin getroffenen Feststellung. In dem interessierenden Frequenzbereich kleiner als 1 Hz treten sehr viele Resonanzstellen auf, die alle durch eine unterschiedliche Anzahl von mitwirkenden Stegelementen gekennzeichnet sind. Es werden deshalb beispielhaft nur drei Eigenformen dargestellt (Bild 7).
Bild 7: Auswahl von Querschwingungseigenformen bei Wirkung dere Erregerkraft am Steg
Bei einem Vergleich der Eigenfrequenzen erkennt man, daß die Querschwingungen klar von den Vertikalschwingungen getrennt sind. Lediglich bei f = 0,66 Hz tritt eine Kopplung von vertikalen Schwingungen mit einer örtlichen Querschwingung des unteren Stegteils auf. Dies könnte unangenehm große Schwingungswirkungen für den Benutzer hervorrufen.
Die wesentliche dynamische Erregung von leichten BRücken wird durch die Fußgängererregung hervorgerufen. Diese kann in unterschiedlicher Form auftreten: unabhängige Bewegungen mehrerer Personen mit unterschiedlicher Schrittgeschwindigkeit rufen eine breitbandige Erregung hervor, synchronisierte Bewegungen (Tanzen, Gymnastik o.ä.) finden in einem sehr schmalbandigen Frequenzbereich statt.
Durch Menschen hervorgerufene Schwingungen infolge Gehen und Laufen führen häufig zu Schwingungserscheinungen, die aufwendige Sanierungsmaßnahmen erfordern. Die Beurteilung der Schwingung ist stark psychologisch gesteuert, so werden von anderen Personen hervorgerufene Schwingungen als unangenehmer empfunden als selbst erzeugte. Die Tragsicherheit des Bauwerkes wird nur in seltenen Fällen beeinträchtigt, es handelt sich vielmehr um typische Gebrauchstauglichkeitsprobleme von Konstruktionen wie Fußgängerbrücken, Turnhallen, Tanzlokale, Sprungtürme, Treppen etc. Da in diesem Fall die BRücke bewusst schwingen soll, spielen solche Gebrauchstauglichkeitsargumente kein Rolle.
Untersuchungen zeigen, daß die häufigste Schrittgeschwindigkeit bei ca. 2 Hz liegt. Bild 8 zeigt die Häufigkeitsverteilung der Schrittfrequenz beim normalen Gehen, man erkennt das ausgeprägte Maximum bei 2 Hz. Beim Laufen treten Schrittfrequenzen über 3,5 Hz auf. Sehr viel höhere Schrittfrequenzen sind biomechanisch kaum zu erreichen, so dass bei Bauwerken oft mit einer Grenzfrequenz von etwa 5 Hz gearbeitet wird. Wichtig für die dynamische Erregung von in Querrichtung weichen Tragwerken kann allerdings auch die halbe Schrittfrequenz werden, die mit der in Querrichtung schrägen Beinstellung zusammenhängt. Dadurch seitlichen Pendeln beim Gehen zusammenhängt.
Bild 8: Häufigkeitsverteilung der Frequenz beim Gehen
Infolge des Gehens oder Laufens werden periodische Kräfte auf das Bauwerk abgesetzt. Diese lassen sich durch die Frequenz (Schrittgeschwindigkeit) und den Verlauf des Kraft-Zeitgesetzes beschreiben. Das Last-Zeitgesetz beim Gehen ist durch die Gehgeschwindigkeit und durch die Art des Schuhwerkes gekennzeichnet /7/. Typisch ist, daß das Last-Zeitgesetz beim normalen Gehen zwei Maxima aufweist, das erste entsteht durch das Aufsetzen der Ferse, das zweite durch das Abdrücken mit dem Ballen (Bild 31). Bei niedrigen Frequenzen ist der zeitliche Verlauf der Last relativ breit, er wird mit wachsender Frequenz immer schmaler. Beim Laufen ist nur noch ein ausgeprägtes Maximum vorhanden, der Fuß wird nur noch mit dem Ballen aufgesetzt.
Der zeitliche Verlauf der Last hängt von vielen Faktoren ab. Hierzu gehören:
Die periodische Funktion kann in eine Fourierreihe zerlegt werden. Der Mittelwert entspricht der Gewichtskraft G des Fußgängers. Die harmonischen Lastanteile, die bei einer relativ leichten Versuchsperson (ca. 60kg) gemessen wurden, zeigt Bild 10. Das Diagramm ist auf Frequenzen bis 10Hz beschränkt. Die Amplituden höherer Harmonischer liegen zur Zeit nicht vor und sind auch nur mit erheblichem versuchstechnischen Auf¬wand realistisch erfaßbar. Naturgemäß sind die Amplituden solcher Vorgänge mit zunehmender Frequenz abnehmend.
Insbesondere für die Amplituden der höheren Harmonischen spielen die Fußbekleidung und Deckenbeschaffenheit eine große Rolle, da hierdurch die Impulsübertragung entscheidend gesteuert wird. Die Amplituden höherer Harmonischer spielen wegen der mit der FRequenz ansteigenden Dämpfung in der Regel auch keine wesentlcihe Rolle mehr.
Bild 10: Fourier Amplituden
Wie bereits von Petersen in /6/ festgestellt, filtert ein schwingender Träger auch bei regelloser Begehung die Anteile aus dem Anregungsspektrum heraus, die im Bereich der Grundeigenfrequenz des Systems liegen. Wenn das System schwingt, findet oft eine Synchronisation der Fußgängerbewegung mit der Schwingung statt, es kommt zu einer anschließenden Resonanzanregung.
Offenbar läßt sich eine Anregung nur dann weitgehend vermeiden, wenn die Grundfrequenz oberhalb von ca. 3 Hz liegen. Dazu muß die Brücke sehr steif ausgebildet werden. Oftmals ist es günstiger stattdessen Schwingungsdämpfer einzusetzen.
Die dynamische Berechnung kann als erzwungene Schwingung unter periodischer Anregung mit Last-Zeitgesetzen nach Bild 2 durchgeführt werden. Eine derartige Berechnung hat naturgemäß nur den Charakter einer Abschätzung, da der reale Fußgängerverkehr sehr komplex ist.
Für das vorliegende Bauwerk kann festgestellt werden, daß mit Sicherheit eine Schwingungserregung der Brücke auftreten wird. Dies ist – wegen der Situation in einem Abenteuerpark – durchaus gewollt. Ein Problem ergibt sich, wenn infolge einer vandalistischen Anregung Panikzustände bei Benutzern des Bauwerkes auftreten. Die dabei auftretenden Schwingungsamplituden sind stark von der Systemdämpfung abhängig, vgl. dazu die Dynamik Grundlagen (Bild 11). 
Bild 11: Vergrößerungsfunktion
Da die tatsächliche Dämpfung des Systems nicht bekannt ist, lassen sich die Schwingungsamplituden nur sehr ungenau vorhersagen. Es wird deshalb vorgeschlagen, nach Fertigstellung des Bauwerkes eine Dämpfungsmessung vorzunehmen. Diese sollte die Dämpfung bei unterschiedlichen Resonanzfrequenzen erfassen. Bei nicht ausreichender Dämpfung könnte diese durch Zusatzdämpfer erhöht werden. Hierdurch werden jedoch die Querschwingungen des Steges nur wenig bedämpft, da diese sehr lokal auftreten, so daß möglicherweise viele Zusatzdämpfer erforderlich werden. Gegebenenfalls muß durch eine Aufsichtsperson dafür gesorgt werden, daß Vandalismus ausgeschlossen wird.
Im folgenden wird die dynamische Verschiebung unter dem böigen Wind nach der Zufallsschwingungstheorie mit vollständiger dynamischer Analyse ermittelt. Mit Hilfe der Zufallsschwingungstheorie kann zwar nicht, wie bei der deterministischen Schwingungstheorie, eine determinierte Systemantwort ermittelt werden, man erhält dagegen als Ergebnis der Berechnung die statistischen Parameter der dynamischen Systemantwort, aus denen sich dann maximale Antworten und deren Auftretenshäufigkeiten bestimmen lassen.
Bei nicht mittelwertfreien Prozessen wird der Prozeß in einen (statischen) Mittelwert und einen um diesen Mittelwert fluktuierenden Anteil zerlegt. Die Häufigkeit, mit der der Funktionswert v einen bestimmten Wert annimmt, wird durch die sog. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion angegeben.
Die Korrelation eines Prozesses mit sich selbst wird als Autokorrelationsfunktion, die Korrelation zweier unterschiedlicher Prozesse wird als Kreuzkorrelationsfunktion bezeichnet. Durch Fourier-Transformation der Korrelationsfunktionen in den Frequenzbereich (Wiener-Kintchine-Beziehung) erhält man die sog. Leistungsspektren, die je nach Ausgangskorrelationsfunktion als Auto- oder Kreuzleistungsspektrum bezeichnet werden. Die Leistungsspektren geben die Energie des Prozesses in Abhängigkeit von der Frequenz an.
Bei einem Einmassenschwinger ergibt sich das Antwortleistungsspektrum infolge einer zufälligen Erregung aus dem Produkt des (stets reellen) Autoleistungsspektrums der stochastischen Einwirkung und des Quadrats des Betrages der komplexen Übertragungsfunktion des mechanischen Systems. Aus dem Integral über das Antwortleistungsspektrum ergibt sich die Varianz des Antwortprozesses. Die Standardabweichung ergibt sich als positive Wurzel aus der Varianz. Wenn Standardabweichung und Mittelwert (ermittelt mit einer statischen Berechnung) des Antwortprozesses bekannt sind, kann hieraus die größte Amplitude der Antwort bestimmt werden, es gilt:
Der sogenannte Spitzenfaktor (peak factor) g ergibt sich aus der gewählten Fraktile der Normalverteilung, womit die Auftretenshäufigkeit festgelegt wird. Üblich sind Spitzenwerte zwischen 3 und 4. Die Spitzenbeiwerte werden nach Daveport aus dem Mittelwert der Extremwertverteilung bestimmt.
Bei Mehrmassenschwingern mit mehreren, (ggfls. korrelierten) Einwirkungen ist die Vorgehensweise prinzipiell ähnlich. Die Auto- und Kreuzleistungsspektren werden in einer sog. Leistungsspektralmatrix zusammengefaßt [6].
Für jede berücksichtigte Frequenz ω muß die Matrizenmultiplikation ausgeführt werden. Für jede Frequenz ergibt sich dabei ein komplexer Wert der Antwortgröße, für die die zugrundegelegte Übertragungsfunktion bestimmt wurde. Mit Hilfe des Programms RASTADYN wird die mechanische Übertragungsfunktion ermittelt. Da Seilsysteme, bedingt durch die nichtlinearen Seilgleichungen stets ein nichtlineares Systemverhalten aufweisen, wird das nichtlineare Verhalten für die Berechnung der mechanischen Übertragungsfunktion linearisiert. Hierzu wird zunächst der Mittelwert der Windeinwirkung ermittelt und die gesamte Windbeanspruchung anschließend in einen mittleren, statisch wirkend angenommenen Wind und in einen um diesen Mittelwert fluktuierenden Anteil zerlegt. Hierbei wird von den Angaben des EC 1, Abs. 2.4 (Windlast) ausgegangen. Mit Hilfe einer Vorlaufrechnung mit RASTA werden die zum Mittelwert der Windbelastung gehörenden Schnittkräfte des Bauwerks ermittelt. Die Voirhensweise ist in Bild 12 verdeutlicht. Man erkennt, dass um den Arbeitspunkt infolge mittlerer Windbelastung lineare Schwingungen angenommen werden. Bei nicht zu großen Schwingungen, ist der Fehler gering. Durch das Ausgehen vom Arbeitspunkt ist der größte Teil der Nichtlinearität erfasst.
Bild 12: Linearisierung um den Arbeitspunkt
Zur Durchführung der Berechnung siehe Dynamik Grundlagen.**
Beim Konzept der komplexen Steifigkeit ist es möglich, für alle zugrundeliegenden Elemente unterschiedliche Dämpfungswerte zu wählen und so die Auswirkung spezieller Dämpfungselemente, wie z.B. Einzeldämpfer, zu untersuchen. Die Dämpfung wurde im vorliegenden Falle als steifigkeitsproportionale Dämpfung mit einem logarithmischen Dekrement von δ = 0,04 berücksichtigt.
Das Rechenverfahren ist durch mehrere Vergleiche mit Schwingungsexperimenten, gerade auch an seilabgespannten Masten, überprüft. Bei Ansatz der richtigen Systemwerte ist die Übereinstimmung der Ergebnisse sehr gut.
Die cf-Beiwerte wurden wie in der Statischen Berechnung angesetzt. Die Beschreibung der Struktur des böigen Windes erfolgte nach EC1, Teil 2.4 (Windlasten). Das Profil des mittleren Windes wird hiernach zu:
angesetzt. Hierin ist v_ref die mittlere Bezugsgeschwindigkeit. Diese wurde im vorliegenden Fall zu 27m/s angesetzt.
Da die Darstellung der Ergebnisse sehr viel Raum beanspruchen würde, werden im folgenden nur zwei typische Ergebnisse der Zufallsschwingungsberechnung dargestellt, die horizontale Verschiebung des Systems in Querrichtung in Feldmitte und im Viertelspunkt. Der Mittelwert der extremen Ausschläge infolge Orkanböen beträgt in Feldmitte ca. 3 bis 4 m, im Viertelspunkt sind es noch ca. 2 bis 3 m. Es handelt sich dabei um die dynamischen Ausschläge um die verschobene statische Mittellage infolge Queranblasung durch den mittleren Wind. Die Verschiebungen sind in Anbetracht der Länge des Systems und der extremen Weichheit nicht besonders groß. In Bild 13 und 14 sind die spektralen Leistungsdichten der Querverschiebungen dargestellt. Man erkennt, daß im wesentlichen der Backgroundanteil und eine Resonanz bei f=0,24 Hz zu der Verschiebung beiträgt. Dies ist die Hauptquerschwingungsform, vgl. z.B. das Bild 5.
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| Bild 13: Antwort-Leistungsspektrum Knoten 20 | Antwort-Leistungsspektrum Knoten 40 |
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Es sei vermerkt, dass es sich um eine lineare Schwingungsberechnung handelt. Die Amplituden werden sich bei nichtlinearer Rechnung noch kleiner einstellen.
