Wirbelerregte Querschwingungen

2.1 Erregermechanismus

Bei kreisförmigen Querschnitten, also Kaminen, Rohrmantelmasten, Seilen o.ä. lö-sen sich von den gegenüberliegenden Seiten rhythmisch Wirbel ab, es bilden sog. Wirbelstraßen (Bild 2.5a). Wenn sich ein Wirbel auf einer Seite bildet, reduziert sich die Strömungsgeschwindigkeit auf dieser Seite, auf der gegenüberliegenden Seite vergrößert sich die Strömungsgeschwindigkeit (Bild 2.5b). Nach dem Bernoullischen Gesetz folgt hieraus eine im Takte der Wirbelbildung schwankende Druckverteilung, wodurch resultierende Quertriebskräfte entstehen. Wirbelablösungen können auch an kantigen Profilen entstehen, wie Bild 2.6 deutlich macht.

Die Frequenz f der Wirbelablösung ist proportional zur Windgeschwindigkeit und umgekehrt proportional zum Durchmesser, es gilt:

Hierin ist u die Windgeschwindigkeit in m/s und d der Zylinderdurchmesser in m. St ist die sog. Strouhalzahl. Sie ist querschnittsabhängig und in den Normen gegeben. Bei Kreisquerschnitten beträgt sie etwa St = 0,2. Wenn die Ablösefrequenz f mit der Bauwerkseigenfrequenz übereinstimmt, wird das Bauwerk durch die Quertriebskräfte in Resonanz erregt. Die zugehörige sog. kritische Windgeschwindigkeit ukrit ergibt sich aus der o.a. Gleichung durch Einsetzen der Bauwerkseigenfrequenz fi für f. Für die Strouhalzahl St=0,2 ergibt sich:
.
Trotz der relativ kleinen Quertriebskräfte können bei schwach gedämpften Bauwerken im Resonanzfall sehr große Antworten auftreten. Dies wird deutlich aus dem dynamischen Vergrößerungsfaktor des (generalisierten) Einmassenschwingers unter harmonischer Belastung. Die Vergrößerungsfaktor V der Verformungen infolge der Resonanzerregung gegenüber den Verformungen unter der als statisch wirkend angenommenen Quertriebskraft beträgt:

vgl. Grundlagen.
Stählerne, frei auskragende, zylindrische Bauwerke haben i.a. logarithmische Dämp-fungsdekremente δ im Bereich von 0.01 bis 0.03. Der dynamische Vergrößerungsfak-tor liegt dann zwischen ca. 314 und 105, so dass auch sehr kleine Erregerkräfte gro-ße Verformungen und Schnittkräfte hervorrufen. Bei frei auskragenden zylindrischen Bauwerken, wie Kaminen o.ä., stellt dieser Lastfall i.a. den Bemessungsfall dar (Er-müdungsnachweis unter Wechselbelastung). Seilabgespannte Bauwerke zeigen ein wesentlich günstigeres Verhalten als frei auskragende Konstruktionen, insbesondere wenn sie nur gering vorgespannt sind, so dass nennenswerte Seildurchhänge vor-handen sind. Die Ursache liegt in der sich während der Schwingung ständig ändern-den Steifigkeit der Abspannung, das Tragwerk „verstimmt“ sich kontinuierlich in be-zug auf die Erregerfrequenz, es handelt sich um eine nichtlineare Schwingung. Dies führt zu einer wesentlich erhöhten äquivalenten Strukturdämpfung. Bei Querschnitten mit kreisförmigem Querschnitt wird die resultierende Quertriebslast stark vom Strömungszustand in der sehr dünnen Strömungsgrenzschicht, die sich zwischen der Außenströmung und der Körperoberfläche ausbildet, gesteuert. Der Strömungszustand ist von der sog. Reynoldszahl Re abhängig, diese ist wie folgt definiert:

Hierin ist d der Zylinderdurchmesser, u die Anströmgeschwindigkeit und ν = 15⋅10-6 in m²/s die sog. kinematische Zähigkeit der Luft.
Bei Reynoldszahlen Re < 3,5⋅105 bildet sich in der Grenzschicht ein laminarer Strömungszustand aus (unterkritischer Bereich), die Quertriebskräfte werden groß.
Bei größeren als der genannten Reynoldszahl erfolgt vor der Ablösung der Umschlag vom laminaren in den turbulenten Strömungszustand. Der Widerstand fällt schlagartig ab und es bildet sich zunächst eine ungeordnete Nachlaufströmung mit unregelmäßigen Wirbeln aus (überkritischer Bereich). Die Korrelation der lateralen Drücke ist gering, die Quertriebskräfte sinken stark ab.
Bei Reynoldszahlen Re > 7⋅10^6 verbreitert sich das Nachlaufgebiet, die ablösende Strömung bildet erneut periodische Wirbel, die Quertriebskräfte wachsen wieder an (transkritischer Bereich). Die Strömungszustände sind im Folgebild schematisch dargestellt. Sie werden von der Rauhigkeit der Zylinderoberfläche erheblich beeinflusst, in geringerem Umfang auch vom Turbulenzgrad der Anströmung. Beide Einflüsse wirken im Sinne einer Erhöhung der Reynoldszahl. Die Strouhalzahl hängt im Wesentlichen von der Querschnittsform ab. In Tabelle 2.2 ist die Abhängigkeit dargestellt. Für scharfkantige Rechteckprofile ergibt sich die Strouhalzahl nach Bild 2.8.

In dem folgenden Diagramm ist die Abhängigkeit der Strouhalzahl bei kantigen Profilen dargestellt:

2.2 Ermittlung der Beanspruchungen

Die Größe der Quertriebskraft pro Meter Länge ergibt sich durch Multiplikation des Staudruckes q = u²·ρ/2 in kN/m2 mit dem dimensionslosen Quertriebsbeiwert clat,0 – auch aerodynamischer Erregerkraftbeiwert genannt – und dem Zylinderdurchmesser d. Die Größe des Quertriebsbeiwertes clat,0 kann für kreisförmige Querschnitte in Abhängigkeit von der Reynoldszahl – d.h. vom Strömungszustand (siehe Bild oben) – entnommen werden, vgl. DIN 1055-4, für scharfkantige Querschnitte ist er in der folgenden Tabelle angegeben. Man erkennt, dass der Quertriebsbeiwert bei scharfkantigen Profilen von der Reynoldszahl Re weitgehend unabhängig ist. Wegen der stochastischen Quertriebs-kräfte im über- und transkritischen Bereich hat der Beiwert clat,0 den Charakter eines Effektivwertes.

Das folgnde Bild zeigt den Verlauf des sog. Quertriebsbeiwertes über der Reynoldszahl:

Bei großer Breite des Bauwerks, großer Eigenfrequenz oder kleiner Strouhalzahl ist die kritische Windgeschwindigkeit u_crit groß. Wenn sie deutlich größer ist als die am Aufstellort tatsächlich zu erwartende, so kann es nicht zur Wirbelresonanz kommen. In DIN 1055-4 wird der Abstand mit u_crit > 1,25 um geregelt. Dabei ist u_m die mittlere Windgeschwindigkeit, die pro Jahr mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,02 überschritten wird. Ist ukrit = um, so stellt sich die volle Wirbelresonanz noch nicht ein. Ursache sind die turbulenten Schwankungen der Windgeschwindigkeit, die sich der mittleren Geschwindigkeit überlagern, so dass Zustände mit und ohne Resonanz abwechseln. Erst wenn ukrit < um, kommt es zur vollen Resonanzwirkung. Zur Erfassung dieses Effektes wird in DIN 1055-4 (2005-03), Abschnitt D.2.5, der Quertriebsbeiwert reduziert, wenn die kritische Windgeschwindigkeit größer ist als 83% der mittleren Windge-schwindigkeit. Oberhalb vom 1,25fachen der kritischen Windgeschwindigkeit wird der Quertriebsbeiwert zu Null gesetzt. Dazwischen wird interpoliert. Infolge der quasiharmonisch, lateral schwankenden Quertriebskraft werden Schwingungen in schlanken Strukturen erzwungen. Die wesentlichen Beanspruchungen resultieren dabei nicht aus den relativ kleinen Quertriebskräften, sondern aus den Massenkräften der schwingenden Struktur. Der in der o.a. Gleichung angegebene dynamische Vergrößerungsfaktor für einen Einmassenschwinger macht dies deutlich. Die in einem Punkt j entstehenden maximalen lateralen Kräfte ergeben sich dabei durch zweifache Ableitung der harmonischen Schwingwege in lateraler Richtung y:

mit

Die Berechnung des infolge der Kraft Fi schwingenden Systems wird am einfachsten mit Hilfe der modalen Analyse durchgeführt, bei dem das schwingende System durch eine gewichtete Summe seiner Eigenschwingformen abgebildet wird. Das tatsächliche System wird hierbei in jeder Eigenform durch einen äquivalenten Einmassenschwinger ersetzt, der gleiche Eigenfrequenz und die gleiche kinetische Energie aufweist, wie das in der Eiugenform schwingende tatsächliche System. Hierzu müssen die verteilten Massen und die am System angreifenden, zeitabhängigen Kräfte in äquivalente Massen bzw. Kräfte umgerechnet werden. Bei einem in Resonanz schwingenden System ist immer nur eine zugehörige Eigenschwingform beteiligt, so dass die Berechnung auch nur für eine Eigenfrequenz durchgeführt zu werden braucht. Die äquivalente Masse des in einer Eigenform schwingenden Systems ergibt sich zu (Petersen, 1996):

Wenn die Massenverteilung konstant ist, kann sie vor das Integral gezogen werden, die äquivalente Masse entspricht dann der tatsächlichen Massenverteilung. Die äquivalente Erregerkraft ermittelt sich aus der verteilt angreifenden lateralen Luftkraft flat zu:

mit q(s) als Geschwindigkeitsdruck bei der kritischen Windgeschwindigkeit, b(s) als maßgebender Breite des Querschnittes und cF(s) als Quertriebsbeiwert. Die maximale Quer-Schwingwegamplitude im Resonanzfall folgt damit zu (vgl. die Vergrößerungsfunktion, oben):

Hierin ist δ das logarithmische Dämpfungsdekrement, fi,y die Eigenfrequenz der i-ten Schwingungsform quer zur Windrichtung. Ke ist die äquivalente Steifigkeit der Feder des äquivalenten Einmassenschwingers, sie ist gleich der Kreisfrequenz ωi = 2πfi,y multipliziert mit der äquivalenten Masse. Wenn in Gleichung für die maximale SChwingweg-Amplitude die äquivalenten Massen und Erregerkräfte eingesetzt wer-den und die absoluten Größen auf Bezugswerte bezogen werden, folgt:

Hierin ist Sc die sog. Scrutonzahl (gelegentlich auch als Massendämpfungsparame-ter bezeichnet), sie ist definiert zu:

mit ρ als Luftdichte (ρ=1,25kg/m³). Messungen zeigen, dass die Wirbelablösungen in Raum und Zeit fluktuieren. Die maximalen Querlasten treten entlang der Struktur nicht gleichzeitig auf, das führt zur Abnahme der Korrelation siehe Bild 2.10. Die mit wachsendem Abstand von der ma-ximalen Schwingamplitude abnehmende Kreuzkorrelation wird durch die Integration über der Länge L erfasst. L/2 ist hierbei das Integrallängenmaß der Korrelationslänge, d.h. die mittlere Länge der gleichzeitig von Wirbelablösung betroffenen Strukturlänge.

Im Bereich der mittleren Länge der Wirbelablösung, in der die Querlastwirkung per Definition konstant ist, kann für das Integral im Zähler der Gleichung der bezogenen Schwingwegamplitude geschrieben werden:

Hierin ist kp der Spitzenfaktor, auch Peakfaktor genannt, vgl. Abs. 2.1, clat ist die Standardabweichung der Querlast. Die maximale Querlast ist also durch die Stan-dardabweichung multipliziert mit dem Peakfaktor ersetzt worden. Der Peakfaktor wird erfasst durch Integration der Schwingungseigenform über der sog. Wirklänge Lj:

Die Wirklänge erfasst also den Einfluss der Korrelation und den Peakfaktor. Das Ein-setzen der Gleichungen (2.14), (2.15) in Gleichung (2.12) ergibt die maximale Schwingungsamplitude nun wie folgt:

Der Wirklängenfaktor Kw ist wie folgt definiert:

Wenn die untersuchte Eigenform mehrere Maxima aufweist, ist die Wirbelerregung mit der jeweiligen Wirklänge um jedes Maximum herum anzusetzen. In diesem Fall gilt die Summe im zweiten Teil der Formel. In Bild 2.11 sind unterschiedliche Situati-onen mit unterschiedlichen Wirklängenansätzen dargestellt.

Die Größe der Wirklänge Lj ist in Tabelle 2.3 in Abhängigkeit der Schwingweg-amplitude angegeben. Da die Wirklänge im Bereich der Maxima der Schwingformen anzusetzen ist, entspricht die Schwingwegamplitude i.a. der maximalen Amplitude.

Für einfache Systeme ist DIN 1055-4 (2005-03) der Wirklängenfaktor KW formelmäßig dargestellt, vgl. folgende Tabelle.

Der Beiwert K in Gleichung (2.16) für die Schwingungsform ist definiert zu:

Hierin ist l die gesamte abgewickelte Stablänge. Für einige einfache Strukturen ist der Beiwert zusammen mit den Formeln für den Wirklängenbeiwert in Tabelle 2.4 angegeben.

Der Wirklängenfaktor KW ist abhängig von der Schwingwegamplitude y_F,i , vgl. Tabelle 2.4. Die Schwingwegamplitude ist aber wiederum von KW abhängig, vgl. Gleichung (2.16), so dass eine iterative Berechnung erforderlich ist. Es muss zunächst eine Wirklänge Lj angenommen werden, mit der die Schwingwege nach Gleichung (2.16) bestimmt werden. Mit den sich so ergebenden Schwingwegen werden die Wirklän-gen angepasst, bis die Iteration zum Stillstand kommt. Wenn zunächst die maximalen Wirklängen verwendet werden und das Ergebnis auf der sicheren Seite liegt, ist keine weitere Iteration erforderlich. Die ganze Berechnung kann einfach durch ein Tabellenkalkulationsprogramm durchgeführt werden, wenn die Formeln für die Eigenformen unterschiedlicher Systeme mit abgespeichert werden. In DIN 1055-4 (2005-03) sind im Anhang F (Dynamische Grundlagen) Formeln angegeben. Weitere sind der Literatur zu entnehmen, z.B. (Petersen, 1996). Windkanalversuche und Versuche an realen Schornsteinen haben gezeigt, dass das schwingende Bauwerk seine Wirbelstraße in Abhängigkeit von der Schwingamplitude selbst steuert. Es handelt sich deshalb eigentlich nicht um eine Resonanzerregung, wie in den bisherigen Erläuterungen zugrunde gelegt, sondern um eine selbsterregte Schwingung. Dieser Einfluss wird in der Norm durch die Wirklänge erfasst. Die Selbststeuerung der Wirbelstraße führt z.B. bei Erregung in höheren Eigenfrequenzen, wie z.B. bei kreiszylindrischen, abgespannten Masten dazu, dass hier phasenversetzte, d.h. gegensinnige Wirbelablösungen auftreten, die zu einer Art schachbrettartigen Beanspruchung führen, vgl. das folgende Bild. Da sich die Wirbelstraßen bei eng benachbarten, gegenphasigen Erregungen stören, wurde in der DIN 4131 „Abgespannte Antennentragwerke“ festgelegt, dass nur maximal 3 Schwingungsbäuche mit Querbelastung beaufschlagt werden müssen.

Das geschilderte Verfahren zur Ermittlung der Beanspruchungen ist Grundlage für die Vorgehensweise in DIN 1055-4 (2005-03). Es behandelt die Wirbelerregung wie eine erzwungene Schwingung in Resonanz und erfasst den stochastischen Prozess der fluktuierenden Querlasten durch Ansatz einer geeigneten Wirklänge. Neben die-sem Verfahren der DIN 1055-4 (2005-03) wird im neuen Entwurf des Eurocodes ein weiteres Verfahren angeboten, das auf den Prinzipien des in Abschnitt 2.1 darge-stellten Spektralverfahrens beruht. Dies soll hier kurz dargestellt werden. Infolge der Turbulenz ist die Windgeschwindigkeit nicht konstant, daher schwankt die Ablösefrequenz f in einer gewissen Bandbreite um die Zentralfrequenz : Es entsteht ein Erregerspektrum:

Wie schon bemerkt, steuert bei großen Schwingungsamplituden die Bewegung die Ablösefrequenz in einem bestimmten Geschwindigkeitsbereich. Es kommt zu einem sog. Lock-in-Effekt. Der Vorgang ist in Bild 2.13 illustriert. Die Berechnung der Trag-wergsreaktion folgt dem dort angegebenen Schema, vgl. dazu auch Abs. 2.1. Der Fall der Wirbelresonanz, wenn fsM mit einer Eigenfrequenz fi zusammenfällt, führt zu sehr großen, schmalbandigen Reaktionen. Es ist in der Regel bemessungsmäßig nicht beherrschbar und sollte vermieden werden. Auch außerhalb des Resonanzfal-les kann die Wirbelerregung merkliche, breitbandige Beanspruchungen auslösen.

Galloping

Die Formanregung, auch Galloping genannt, tritt im Bauwesen häufig auf. Anders als beim Flattern genügt hier ein Freiheitsgrad der Schwingung, um die Erregung einzuleiten. Der klassische Fall einer derartigen selbstinduzierten Erregung ist die Querschwingung eines angeströmten Rechteckprofils.

Aerodynamische Kräfte an einem schräg angeströmten Recheclquerschnitt

Man kann diese Erregung leicht selbst testen, indem man mit einem schmalen Brettchen (z.B. Frühstücksbrettchen) durch das Wasser in der Badewanne fährt. Muskeln sind mechanisch Federn, eine Armmasse ist auch vorhanden, so das ein schwingungsfähiges System entsteht. Der Arm oder die Hand wird, von einer gewissen Geschwindigkeit an – der sog. Einsetzgeschwindigkeit, eine Art Sinus-Schwingung durchs Wasser produzieren. Der Effekt funktioniert sowohl mit Bewegung des Brettchens in Richtung der dünnen Querschnittsseite, der Schmalseite, als auch mit Bewegung 90° dazu, also mit der Breitsseite des Brettchens. Ähnliche Effeke kennt man vom Schwimmen. Wenn man kräftig – d.h. schnell genug – mit den geschlossenen Händen zieht, spürt man eine Querschwingung, also eine Art Sägebewegung der Hand.
Wird das Rechteckprofil symmetrisch angeströmt (=0) treten zwar auf der Ober- und Unterseite Unterdrücke auf, diese sind jedoch gleichgroß und entgegengesetzt, so dass die resultierende Wirkung auf den Querschnitt gleich Null ist. Wird nun das Profil durch eine Störung in vertikaler Richtung – also senkrecht zur Anströmrichtung – bewegt, ändert die das Profil treffende Windgeschwindigkeit infolge der Vektoraddition mit dem entstehenden „Fahrtwind“ in Querrichtung ihren Einfallswinkel (relativer Wind). Ähnliches bewirkt eine Schräganblasung des Querschnittes unter dem Winkel φ. Es bildet sich eine relative Anströmgeschwindigkeit urel unter dem Winkel aus. Hierdurch entsteht eine durch die unsymmetrische Umströmung bedingte, unsymmetrische Druckverteilung auf der Ober- und Unterseite. Die unsymmetrische Druck-verteilung führt nun zu unterschiedlichen Druckverteilungen auf Ober- und Unterseite, es verbleibt eine resultierende Kraft. Bei einigen Querschnittsformen, wie z.B. dem o.a. Rechteck, ist nun die resultierende Kraft so gerichtet, dass sie in Richtung der Querbewegung weist, es wird also positive Arbeit geleistet und die ursprüngliche Störung wird durch die zusätzliche Kraft verstärkt. Hierdurch steigt wiederum der „Fahrtwind“ in Querrichtung an, der Winkel vergrößert sich, die Druckverteilung wird unsymmetrischer und die resultierende Kraft wächst, d.h. die Bewegung wird in der Störungsrichtung beschleunigt. Die Federkraft c·y des Schwingers steigt. Wenn die Federkraft größer ist als die Luftkraft, wird die Schwingungsrichtung umgedreht, der Prozess läuft jetzt in die andere Richtung und leistet ebenfalls wieder positive Arbeit. Es entstehen sehr starke Schwingungen mit niedriger Frequenz aber großer Amplitude, es ähnelt dem Gallopieren eines Pferdes, daher der Name Galloping. Die Bewegungsgleichung lautet:

Die resultierende Kraft in Bewegungsrichtung y kann aus der Summe der in Bezug auf die Anblasrichtung definierten Auftriebs- und Widerstandskräfte des Querschnit-tes ermittelt werden:

Die Auftriebskraft L (Lift) und die Windwiderstandskraft D (Drag) ergeben sich aus Windkanalversuchen, bei denen das Profil unter dem Winkel φ angeströmt wird. Der relative Anströmwinkel φ beträgt: .

Wenn Fy mit wachsendem φ größer wird, bedeutet dies, dass bei einer Abwärtsbewegung die aufwärts gerichtete Kraft einen Zuwachs erhält, also die Bewegung bremst. Wenn P mit steigendem φ dagegen kleiner wird, tritt eine zusätzliche negative Kraft auf, die die Bewegung unterstützt. Die Bewegung ist demnach

stabil, wenn gilt:

instabil, wenn gilt: .

Die Ableitung von Gleichung der resultierenden Kraft in Bewegungsrichtung y erfordert die Anwendung der Kettenregel. Es folgt:

Wenn φ klein ist, ist sin φ ~ 0, es verbleibt der zweite Term. Mit cosφ ~ 1 (kleiner Winkel ergibt ein Kriterium für instabiles Verhalten:
d.h. .

Da der aerodynamische Widerstand D stets positiv ist, tritt also Instabilität auf, wenn: .

Die Gradiente des im Windkanal gemessenen Auftriebsbeiwertes muss also im Bereich des jeweiligen Windeinfallswinkels negativ sein, um instabiles Verhalten hervorzurufen. In Bild 2.20 ist der Auftriebsbeiwert beispielhaft für den Rechteckquerschnitt dargestellt. Man beachte, dass die Ordinate negative Vorzeichen hat. Ein relativer Windeinfall im Bereich von -12° bis 12° würde also instabile Schwingungen hervorrufen, bei Einfallswinkeln über 12° ist das Verhalten stabil.

Man kann solche Schwingungen leicht selbst erzeugen. Fährt man mit einem kleinen Brett quer durch das Wasser, so stellt sich eine entsprechende Schwingung ein. Der Schwinger besteht in diesem Fall aus den Muskel(federn) und den Arm- und Brett!massen. Auch das seitliche, schwingungsartige Ausweichen der (kräftig ziehenden) Hände beim Kraulschwimmen, ist hierauf zurückzuführen.
Für Querschnitte mit konstanter Massenbelegung und konstanter Dicke ist die für das Auftreten von Gallopingschwingungen kritische Windgeschwindigkeit durch die folgende Beziehung gegeben: Die Einsetzgeschwindigkeit für Galloping vCG ist nach Gleichung (2.37) definiert:

Dabei sind:
Sc	Scrutonzahl
n1,y	Grundeigenfrequenz des Bauwerks für Querschwingungen. Näherungsformeln zur
	Ermittlung der Grundeigenfrequenz sind in Anhang F angegeben
b	maßgebende Breite des Querschnitts nach Tabelle 2.5
aG	Stabilitätsbeiwert für Galloping (siehe Tabelle 2.5). Wenn kein Wert bekannt ist, kann mit aG = 10 gerechnet werden.

Die kritische Einsetzgeschwindigkeit ist also proportional zur sog. Scruton-Zahl (auch Massendämpfungsparameter genannt), zur Eigenfrequenz und umgekehrt proportional zum Stabilitätsbeiwert. Dieser ist in der folgenden Tabelle für verschiedene Querschnitte angeben.

Eine Ermittlung der Einsetzgeschwindigkeiten von realen Strukturen ist mit Hilfe des Konzepts der generalisierten Systemgrößen leicht möglich. Hierzu sind für die Masse und die Querschnittsbreite die entsprechenden generalisierten Größen einzusetzen. Es gilt:

Man erkennt, dass die generalisierte Masse und die generalisierte Breite den tat-sächlichen Werten entsprechen, wenn diese über der Systemlänge konstant sind. Schwingamplituden o.ä. können so nicht ermittelt werden. Hierzu ist eine vollständige Berechnung des Schwingers erforderlich. Die Berechnung gestaltet sich relativ ein-fach, wenn mit einem Zeitschrittverfahren gearbeitet wird. Hierzu muss der Verlauf des Druck- und des Auftriebsbeiwertes (D, L) bekannt sein. In jedem Zeitschritt wird die jeweilige Quergeschwindigkeit des Profils ermittelt, mit der anschließend im nächsten Zeitschritt die neue Beanspruchung F(t) nach Gleichung (2.30) bestimmt wird, usw. Um eine Querbewegung auszulösen, muss eine Anfangsstörung vorgegeben werden.
Galloping Erregungen wurden zuerst an vereisten Seilen von elektrischen Freileitungen beobachtet. Sie sind gekennzeichnet durch große Schwingungsamplituden und relativ niedrige Frequenzen. Durch das Anwachsen der Eisfahnen gegen den Wind ergeben sich aerodynamisch instabile Querschnitte, siehe Folgebild. In einigen Fällen werden Galloping Schwingungen auch an unvereisten, geschlagenen Seilen beobachtet. Bei geschlagenen Seilen treten, bedingt durch unterschiedliche Winkel der Litzen auf der Ober- und Unterseite bezüglich des Windes, ebenfalls bewegungsverstärkende Auftriebskräfte auf, die zu starken Seilschwingungen führen können. Gallopingschwingungen können durch Zusatzdämpfungsmaßnahmen an den Seilen leicht kontrolliert werden, vgl. die oben gegebenen Beziehungen für die Einsetzgeschwindigkeit und die dort im Zähler stehende Scoutonzahl. Damit steht die Dämpfung im Zähler und diese kontrolliert somit ganz wesentlich die Einsetzgeschwindigkeit.

Flattern und Divergenz

1. Divergenz

Unter Divergenz versteht man eine statische aeroelastische Instabilität. Die Luftkräfte sind größer als die elastischen Rückstellkräfte des Tragwerks. Im Bauwesen treten sie selten auf. Gefährdet sind sehr verformungsfähige Plattenstreifen o.ä., wie sie z.B. bei weich gelagerten Brücken (Hängebrücken o.ä.) vorkommen können. Wenn bei einer gegebenen Windgeschwindigkeit an einem Bauelement, das schräg in einem Luftstrom steht, ein aerodynamisches Torsionsmoment infolge der exzentrisch wirkenden Auftriebskräfte entsteht, das so gerichtet ist, das es die Drehung vergrößert, wird es bei größerem Drehwinkel ein größeres Torsionsmoment erzeugen, Bild 2.29. Das Torsionsmoment beansprucht die elastische Torsionsfeder des Bauelements. Wenn die Windgeschwindigkeit steigt, wird sich auch hierdurch das Torsionsmoment vergrößern, da größere exzentrische Auftriebskräfte auftreten. Bei einer gewissen, kritischen Windgeschwindigkeit wird das aerodynamische Torsionsmoment größer als das Torsionsmoment, das die elastische Drehfeder mit der Federsteifigkeit cT des Bauelementes beim gleichen Drehwinkel φ aufbauen kann (MT,el = cT·φ). Das Bauelement versagt dann durch eine instabile Torsionsverdrehung. Man spricht von statischer Divergenz. Schwingungen treten hierbei nicht auf. Das Phänomen entspricht dem klassischen Eulerschen Knickstab, bei dem die anwachsende Beanspruchung durch die verformungsbedingten Biegemomente entsteht. Bei Erreichen der kritischen Last werden die auslenkenden Biegemomente größer als die von der elastischen Struktur aktivierbaren inneren Biegemomente, der Stab knickt aus. Ähnlich wie ein Knickstab gegenüber einer Störung bei anwachsender Normalkraft immer weicher wird, wird auch die Drehsteifigkeit einer Platte im Wind bei ansteigender Windgeschwindigkeit immer geringer, die Torsionseigenfrequenzen sinken deshalb. Dies kann vor Erreichen zu einem Flattern des Querschnitts führen.
Um anfällig für Divergenz oder Flattern zu sein, muss ein Baukörper alle der drei folgenden Bedingungen erfüllen. Die Bedingungen sind in der gegebenen Reihenfolge zu prüfen. Wenn eine der Bedingungen nicht erfüllt ist, ist das Bauwerk oder das Bauteil nicht divergenz- oder flattergefährdet, vgl. dazu auch DIN 1055-4 (2005-03). a) Das Bauwerk oder ein wesentliches Teil von ihm muss einen langgestreckten Querschnitt aufweisen (ähnlich einer flachen Platte) mit einem Abmessungsver-hältnis von d/b ≥ 4. Dabei ist b die Querschnittshöhe des Baukörpers und d die Querschnittsbreite in Windrichtung. b) Die Torsionsachse muss parallel zur Plattenebene und normal zur Windrichtung verlaufen; außerdem muss die Torsionsachse mindestens um das Maß d/4 leewärts von der luvseitigen Kante der Platte entfernt sein. Dieses schließt auch den Fall ein, dass die Torsionsachse im Flächenschwerpunkt liegt. Dies ist z.B. bei einer mittig gelagerten Anzeigetafel oder einem mittig gestützten, freistehen-den Dach gegeben. Außerdem berücksichtigt es den Fall, dass die Torsionsach-se mit der leeseitigen Kante identisch ist, wie zum Beispiel bei einem auskra-genden, freistehenden Dach. c) Die niedrigste Eigenfrequenz muss zu einer Torsionsschwingung gehören oder eine Torsionseigenfrequenz muss weniger als das Doppelte der niedrigsten Ei-genfrequenz der translatorischen Schwingung betragen.

Die Windgeschwindigkeit, bei der Divergenz auftritt, lässt sich wie folgt ermitteln: Wirkt auf einen Abschnitt des Plattenstreifens der Breite „1“ (Bild 2.29) infolge der anströmenden Luft exzentrische Auftriebs- bzw. Abtriebskräfte, so lassen sich diese zu einer resultierenden, ex-zentrischen aerodynamischen Liftkraft L zusammenfassen. Messungen zeigen, dass diese etwa im Viertelspunkt anzuordnen ist (Bild 2.46). Die Liftkraft ergibt sich zu:

Hierin ist cL der in Versuchen, in Abhängigkeit vom Anstellwinkel φ, zu bestimmende Auftriebsbeiwert. Da nur kleine Veränderungen des Anstellwinkels betrachtet werden sollen, kann die Funktion des Auftriebsbeiwertes cL linearisiert werden. Es gilt dann:

Das auf die elastische Achse des Profils bezogene aerodynamische Moment ML ergibt sich dann zu:

Das elastische Rückstellmoment M_T,el des Querschnittes folgt mit der Drehfeldzahl c_T zu: .
Die statische Instabilität des Profils tritt auf, wenn: ,
also bei

Einsetzen von Gleichung 2.14 ergibt:

Durch Auflösen nach der Windgeschwindigkeit folgt die kritische Windgeschwindigkeit bei der Divergenz auftritt zu:

In der Literatur (und in der DIN 1055-4, Anhang E.3) wird die Formel gelegentlich auch mit Bezug auf die Ableitung des aerodynamischen Beiwertes für das Moment der Windkraft dargestellt. Wegen des Abstands b/4 vom Zentrum ergibt sich mit den hier eingeführten Bezeichnungen:

Hierdurch ist die Einsetzgeschwindigkeit festgelegt, ab der die Windkräfte so groß werden, dass sie die Rückstellenden Federkräfte des verdrehten Systems übertreffen. Es kommt zum schlagartigen Kippen des Profils!

2. Flattern

Das Entstehen von Flatterschwingungen erfordert zwei Schwingungsfreiheitsgrade, eine Biegeschwingung und eine Torsionsschwingung. Die beiden überlagerten Schwingungen müssen dabei phasenmäßig, d.h. in Bezug auf ihre zeitliche Abstim-mung so erfolgen, dass die anfachenden Luftkräfte über eine Schwingungsperiode eine positive Arbeit leisten. Stark gefährdet sind hierbei Hängebrückenähnliche Kon-struktionen, da diese sowohl biegeweich als auch torsionsweich sind, es können also Biege- und Torsionsschwingungen mit ähnlicher Frequenz auftreten. Ein einfaches Beispiel soll dies verdeutlichen. Das angeströmte Profil, also z.B. der Brückenquerschnitt, wird annähernd als ein System mit zwei Freiheitsgraden in einer ebenen Strömung betrachtet (Bild 2.31). Die Bewegung des Querschnitts soll so langsam erfolgen, dass sich in jeder Lage ein stationärer Zustand einstellt. Es bilden sich Wirbel, die durch die Grundströmung transportiert werden und die den Querschnitt mit variablen Druck- und Sogkräften belasten. Bild 2.30 zeigt beispielhaft eine Momentaufnahme der Druckverteilung an einem verdrehten H-Querschnitt.

Das folgende Bild zeigt den unverformten und verschobenen Querschnitt. Man erkennt, dass zwei Freiheitsgrade angesprochen werden:

• Verschiebung
• Verdrehung.

Der Querschnitt führt zwei harmonische Bewegungen aus: Eine

• vertikale verschiebung y:
• Verdrehung des Querschnittes um den Winkel φ: .

ωB und ωT sind die Eigenkreisfrequenzen (es gilt: ω = 2π·f) der beiden Freiheitsgra-de (Biegung und Torsion). Wenn die beiden Eigenkreisfrequenzen gleich sind (ωB = ωT = ω), ist bei richtiger Phasenlage der beiden Schwingungen eine ideale Selbstan-regung möglich. Bild 2.32 verdeutlicht dies. Im oberen Teil des Bildes 2.32 ist die Biegeschwingung mit der Torsionsschwingung in Phase, d.h. beide erreichen zum gleichen Zeitpunkt ihre Schwingungsnulllage: Durchbiegung und Torsionswinkel sind gleich Null. Im ersten Viertel der Schwingung sind Luftkraft und Bewegungsrichtung gleichgerichtet, es wird also positive Arbeit ge-leistet. Im zweiten Viertel sind Luftkraft und Bewegungsrichtung aber entgegenge-setzt, die entsprechende Arbeit ist negativ. Im dritten und vierten Viertel der Schwin-gung wiederholen sich Verhältnisse. Die Gesamtarbeit über eine Schwingungsperio-de ist also Null; es kann keine Schwingung angefacht werden. Im unteren Teil des Bildes 2.32 ist eine Phasenverschiebung von π/2 = 90° voraus-gesetzt. Die Torsionsverdrehung ist maximal, wenn die Durchbiegung Null ist. Jetzt ist die Luftkraft in jedem Viertel mit der Bewegung gleichgerichtet, es wird positive Arbeit geleistet, es wird eine Schwingung angefacht. Da hierbei gleichzeitig Biege- und Torsionsschwingungen auftreten, wird von Biegetorsionsflattern gesprochen.

Energiebilanz der Luftkräfte bei gekoppelter Biege- und Torsionsschwingung (Försching)

Die sich einstellende Biegetorsionsschwingung ist durch eine Phasenverschiebung zwischen den Amplituden y0 und φ0 gekennzeichnet, die eine Energiezufuhr aus der Strömung bewirkt. Die Bewegungsgleichungen des betrachtenden Systems von zwei Freiheitsgraden sind: mit
D_B	Dämpfungsmaß der Biegeschwingung
D_T	Dämpfungsmaß der Torsionsschwingung
m	Masse der Brücke pro lfd. m Längsrichtung
φ	polares Massenträgheitsmoment des Querschnitts

Die Lösung der Flattergleichungen führt zu einer kritischen Windgeschwindigkeit, bei der die Flatterschwingung beginnt. Diese wird auch als Einsetzgeschwindigkeit bezeichnet. Die dazu notwendigen Luftkräfte und deren Abhängigkeit von der Verschiebung und Verdrehung des Querschnittes müssen im Windkanal bestimmt werden. Zur Abschätzung der kritischen Flattergeschwindigkeit kann folgende empirische Beziehung benutzt werden: Darin sind:
b	Brückenbreite
fB, fT	Grundeigenfrequenzen der maßgeblichen Biege- und Torsionsschwingungsform
m	Masse pro Längeneinheit
r	Trägheitsradius
ρ	1,25 kg/m3 – Luftdichte

Um die Gefahr des Flatterns zu vermindern, sollte die Torsionseigenfrequenz f_T deutlich höher sein als die Biegeeigenfrequenz f_B. Hierdurch wird die Gefahr der Selbstanregung deutlich reduziert. Eine Erhöhung der Dämpfung beseitigt diese Gefahr dagegen nicht, es wird lediglich die kritische Flattergeschwindigkeit geringfügig angehoben, vgl. Bild 2.33.

Auf der Abszisse ist die Torsionseigenfrequenz fT und die Breite B bezogene, An-strömgeschwindigkeit ur und auf der Ordinate die Dämpfung, dargestellt durch aerodynamische Dämpfungsbeiwert nach Scanlan, eingetragen. Dieser Beiwert wird bei der Lösung der Bewegungsgleichung benötigt und charakterisiert die Torsionsschwingung eines Querschnitts. Analog wird auch der Strukturdämpfungsbeiwert definiert. Schneidet die -Kurve die -Linie, wird die kritische Flattergeschwindigkeit ur,krit erreicht. Man erkennt, dass die Anhebung der Strukturdämpfung um das Maß nur ein geringes Ansteigen der kritischen Einsetzgeschwindigkeit zur Folge hat. Man erkennt auch, das die Querschnittsform einen erheblichen Einfluss auf die Einsetzgeschwindigkeit hat. Das Profil der Tacoma-Brücke, die im Jahre 1940 nach spektakulären Flatterschwingungen einstürzte, war offenbar äußerst ungünstig, die kritische Flattergeschwindigkeit wird sehr früh erreicht. Andere Querschnittsformen verhalten sich hier wesentlich günstiger. Optimal ist offenbar der schlanke Querschnitt, wie er bei der Brücke über den Severn (Verbindung Brisol-Cardiff in Groß-Britannien) mit einer Spannweite von 988m erstmalig eingesetzt wurde. Die zugehörige Kurve schneidet die D* nie, der Querschnitt ist absolut flatterstabil. Moderne Brückenentwürfe lehnen sich deshalb an dieses Profil an. Deutliche Abweichungen können aber wieder zu Flattergefahr führen. Eine Erweiterung auf beliebig bewegte Systeme ist in (Starossek, 1992) zu finden. Die Bedingungen für plattenförmige Tragwerke aus dem EC 1991-4 Anhang E4 sind falsch. Untersuchungen an unserem Institut haben gezeigt, dass diese Bedingungen falsch sind, siehe Kirch 2010. Es wird vorgeschlagen die Untersuchungen mit Hilfe des Verfahrens von Klöppel/Thiele 1967 durch zuführen, das relativ einfach ist und eine hinreichend genau Abschätzung der Flattergefahr bringt. Die Flatterwindgeschwindigkeit des aeroelastischen Systems wird dabei mithilfe der potentialtheoretisch beschriebenen Umströmung des dünnen Plattenquerschnitts ermittelt (Lösung in Diagrammen grafisch aufbereitet). Für den real verwendeten Querschnitt wird das Ergebnis pauschal mit einem Faktor modifiziert, der als rein querschnittsabhängig (das ist bei genauerer Betrachtung nicht so) angenommen wird. Die mathematisch angemessene Beschreibung und Untersuchung selbst ebener aeroelastischer Modelle mit nur zwei aerodynamisch wirksamen Freiheitsgraden stellt eine anspruchsvolle Aufgabe dar. Umso wünschenswerter sind einfache Hilfen zur Abschätzung der Stabilitätsgefährdung eines aeroelastischen Systems, wie das Flat-tern beispielsweise einer schlanken Brücke unter Windanströmung. Der Bericht von Kirch 2010 aus unserem Institut beschreibt Untersuchungen zu der Qualität und den Anwendungsgrenzen verschiedener, aus dem Fachschrifttum bekannter Näherungsformeln für die Berechnung der Flatterwindgeschwindigkeit aeroelastischer Systeme. Genauere Algorithmen, die zur Berechnung der Referenzwerte herangezogen wer-den, sind ebenso wie die daraus folgenden Ergebnisse in dem Bericht ausführlich dokumentiert. Mit den erarbeiteten Empfehlungen wird vor allem dem entwerfenden Ingenieur eine Sammlung klarer und nachvollziehbarer Rechenbehelfe an die Hand gegeben.

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Regen-Wind induzierte Schwingungen

Regen-Wind induzierte Schwingungen treten nur bei Regen und in einem begrenzten Bereich relativ kleiner Windgeschwindigkeiten auf. Stets war das Seil oder der Rundstab gegen die Vertikale geneigt. Es wurden Schwingungen sowohl bei Nieselregen als auch bei starkem Regen beobachtet. Die Schwingungsamplituden können ein Vielfaches des Seildurchmessers betragen. Diese SChwingungsamplituden führen relativ rasch zu Ermüdungsbrüchen an kritischen Kerbstellen, wie das Folgebild zeigt. Die Risse wurden wenige Wochen nach Inbetriebnahme der Brücke erreicht.

Durch den Regen wird die Seiloberfläche mit Wasser benetzt, das infolge Wind und Schwerkraft konzentriert in einem oder zwei Rinnsalen am Seil herunter fließt. Wenn neben dem unteren Rinnsal noch ein zweites Rinnsal auf der Oberseite des Seiles existiert, kommt es zu besonders starken Schwingungen quer und ggf. auch längs zur Windanströmung. Dabei bewegen sich beide Wasserrinnsale auf der Oberfläche in der Frequenz der Seilschwingungen und führen zu einer kontinuierlichen Veränderung der Querschnittsform, vgl. Folgebild:
.

Es handelt sich also im Prinzip um ein ähnliches Schwingungsphänomen wie das Galloping. Dort wurde, wenn ein fester Querschnitt schräg angeströmt wurde, eine Liftkraft geweckt, die die Querbewegung des Querschnitts verstärkte. Dadurch vergrößerte sich der Wind-Einwirkungswinkel und es traten selbsterregte Schwingungen auf. Bei Regen-Wind induzierten Schwingungen ist der Querschnitt nicht fest, sondern ändert sich zeitabhängig. Es tritt – durch die sich infolge der Rinnsale unsymmetrischen Querschnittsform – eine unsymmetrische Umströmung des Querschnittes auf, was zu entsprechenden Liftkräften führt.

Entscheidend für das Phänomen ist das obere Rinnsal. Es wird von der Windkraft gestützt. Bläst der Wind zu schwach rutscht es nch vorn herunter, bläst er zu stark, wird es oben über den Scheitel geblasen. Es gibt also nur einen bestimmten Windgeschwindigkeitsbereich in dem das Phänomen der Regen-Wind induzierten Schwingungen auftritt.

Die Luftkräfte aus der Strömung werden derart verändert, dass es zu einem Energieeintrag in das System, und damit zu einer Schwingungsanregung kommt. Die entscheidende Rolle bei der Entstehung der Schwingungen spielt das obere Rinnsal. In Windkanalversuchen wurde beobachtet, dass sich ein oberes Rinnsal in einem Winkel zum Wind von ca. 20° entwickelt. Es bewegt sich in der Frequenz der Seilschwingung um diese Lage mit einer Amplitude von ca. ±20°.

Verwiebe beobachtete in seinen Versuchen drei verschiedene Formen von Regen-Wind induzierten Schwingungen [Verwiebe, 1997]:

• Schwingungen in Anströmrichtung mit zwei Rinnsalen,
• Schwingungen quer zur Anströmrichtung mit unterem Rinnsal,
• Schwingungen quer zur Anströmrichtung mit unteren und oberen Rinnsal.

Das System wird als gekoppelter 2-Massen-Schwinger mit 2 Freiheitsgraden model-liert (Bild 2.23). Das Seil mit dem Durchmesser D kann sich quer zu Windrichtung translatorisch bewegen (Freiheitsgrad y). Die Seilmasse mS ist nichtlinear gefedert (ky) und viskos gedämpft (dy). Das Rinnsal bewegt sich tangential auf der Oberfläche des Seiles, seine Lage wird durch den Rotationswinkel ϕ angegeben. Die Rinnsal-masse mR ist mit der Seilmasse gekoppelt, ähnlich einem fußpunkterregten Pendel. Ein viskoser Dämpfer modelliert den Reibungswiderstand zwischen Rinnsal und Seiloberfläche. Die aerodynamischen Kräfte (Fy, Mϕ) wirken entsprechend der 2 Frei-heitsgrade und werden als quasi-stationär und unabhängig von der Reynoldszahl angenommen.

Die Bewegungsgleichungen führen auf ein nichtlineares Differentialgleichungssys-tem. Wenn hierin zunächst alle Zeitableitungen zu Null gesetzt werden, erhält man ein Differentialgleichungssystem für die statischen Stabilitätspunkte. Bild 2.24 zeigt eine solche Lösung für den Freiheitsgrad Rotation und stellt die stationäre Lösung des Freiheitsgrades über die Windgeschwindigkeit U dar. Ist die Geschwindigkeit ge-ringer als ein unterer kritischer Wert USP = 7,6m/s, so existiert eine untere Gleichge-wichtslage A (stabil) des Rinnsals und eine obere Lage B (instabil). Erreicht die Ge-schwindigkeit den kritischen Wert USP, so tritt eine Sattelpunkt-Bifurkation auf. Zwei weitere stationäre Punkte entstehen (Zweige C und D). Der Zweig C ist wiederum in-stabil, das Rinnsal wird abgestoßen und wandert in eine stabile Lage. Der Zweig D ist dagegen eine stabile Gleichgewichtslage.

Die stationäre Lösung xD ist im Gebiet zwischen UH,1 und UH,2 instabil. Es muss nun untersucht werden, ob in diesem Geschwindigkeitsbereich periodische Lösungen mit stabilen Grenzzyklen existieren. Dabei müssen auch die nichtlinearen Terme der Dif-ferentialgleichungen in die Analyse mit einbezogen werden. Ein stabiler Grenzzyklus existiert, wenn die Beträge der Eigenwerte der Monodromiematrix der periodischen Lösung xp (charakteristische Multiplikatoren) kleiner gleich 1 sind. Die Stabilitätsuntersuchung nach nichtlinearer Theorie ergibt, dass für den Bereich UH,1 bis UH,2 ein stabiler Grenzzyklus existiert. Für den Bereich UH,1 bis UL gibt es zwei Grenzzyklen. In Bild 2.25 sind die Doppelamplituden der Grenzzyklen für den Freiheitsgrad Translation über der Windgeschwindigkeit aufgetragen. Für den Be-reich von UH,1 bis UH,2 existiert ein stabiler Grenzzyklus, dessen Amplitude mit der steigender Geschwindigkeit nichtlinear wächst. Das System wird infolge einer Stö-rung aus der Nulllage heraus zu Schwingungen bis zu einem Grenzzyklus angefacht. Der Bereich stabiler periodischer Lösungen nach nichtlinearer Theorie geht über den Bereich der möglichen Anregung nach linearer Stabilitätstheorie (UH,1 – UH,2) hinaus. Für den Bereich UH,2 – UL existiert ein weiterer Grenzzyklus, der instabil ist. Durch die Nichtlinearität des Systems kommt es zu einem Sprungphänomen. In nächsten Bild ist das Einschwingen in den stabilen, periodischen Grenzzyklus dargestellt.

Das Einschwingen auf einen stabilen Grenzzustand wird im nächsten Bild im Zeitbereich gezeigt:

Parameterstudien zeigen, dass dieses Schwingungsphänomen in starkem Maße von der Windgeschwindigkeit und der Systemdämpfung gesteuert wird. Bild 2.27 zeigt beispielhaft den Bereich der instabilen Lösung in Abhängigkeit von der Windge-schwindigkeit und der Systemdämpfung. Im instabilen Bereich treten die beschriebenen periodischen Schwingungen mit Grenzzyklen auf.

Das windgeschwindigkeitsabhängige Verhalten des oberen Rinnsals und damit des Schwingungsphäönomens, ist deutlcih dem nächsten BIUld zu entnehmen. Man erkennt, dass der instabile Bereich, das ist der Bereich, in dem die Schwingungen stattfinden, abhängt von der Windgeschwindigkeit und der SYstemdämpfung. Auf der Abszisse ist die Windgeschwindigkeit aufgetragen, auf der Ordinate der Dämpfung. Man erkennt, dass Schwingungen nur zwischen 8 und 18 m/s auftreten, die Dämpfung muss bei diesem Beispiel kleiner als etwa 7% Dämpfungsmaß sein. Das ist schon eine vergleichsweise große Dämpfung, sie entspricht etwa 44% logarithmisches Dekrement.