2. Galloping

Die Formanregung, auch Galloping genannt, tritt im Bauwesen häufig auf. Anders als beim Flattern genügt hier ein Freiheitsgrad der Schwingung, um die Erregung einzuleiten. Der klassische Fall einer derartigen selbstinduzierten Erregung ist die Querschwingung eines angeströmten Rechteckprofils.

Aerodynamische Kräfte an einem schräg angeströmten Recheclquerschnitt

Man kann diese Erregung leicht selbst testen, indem man mit einem schmalen Brettchen (z.B. Frühstücksbrettchen) durch das Wasser in der Badewanne fährt. Muskeln sind mechanisch Federn, eine Armmasse ist auch vorhanden, so das ein schwingungsfähiges System entsteht. Der Arm oder die Hand wird, von einer gewissen Geschwindigkeit an - der sog. Einsetzgeschwindigkeit, eine Art Sinus-Schwingung durchs Wasser produzieren. Der Effekt funktioniert sowohl mit Bewegung des Brettchens in Richtung der dünnen Querschnittsseite, der Schmalseite, als auch mit Bewegung 90° dazu, also mit der Breitsseite des Brettchens. Ähnliche Effeke kennt man vom Schwimmen. Wenn man kräftig - d.h. schnell genug - mit den geschlossenen Händen zieht, spürt man eine Querschwingung, also eine Art Sägebewegung der Hand.
Wird das Rechteckprofil symmetrisch angeströmt (=0) treten zwar auf der Ober- und Unterseite Unterdrücke auf, diese sind jedoch gleichgroß und entgegengesetzt, so dass die resultierende Wirkung auf den Querschnitt gleich Null ist. Wird nun das Profil durch eine Störung in vertikaler Richtung - also senkrecht zur Anströmrichtung - bewegt, ändert die das Profil treffende Windgeschwindigkeit infolge der Vektoraddition mit dem entstehenden „Fahrtwind“ in Querrichtung ihren Einfallswinkel (relativer Wind). Ähnliches bewirkt eine Schräganblasung des Querschnittes unter dem Winkel φ. Es bildet sich eine relative Anströmgeschwindigkeit urel unter dem Winkel aus. Hierdurch entsteht eine durch die unsymmetrische Umströmung bedingte, unsymmetrische Druckverteilung auf der Ober- und Unterseite. Die unsymmetrische Druck-verteilung führt nun zu unterschiedlichen Druckverteilungen auf Ober- und Unterseite, es verbleibt eine resultierende Kraft. Bei einigen Querschnittsformen, wie z.B. dem o.a. Rechteck, ist nun die resultierende Kraft so gerichtet, dass sie in Richtung der Querbewegung weist, es wird also positive Arbeit geleistet und die ursprüngliche Störung wird durch die zusätzliche Kraft verstärkt. Hierdurch steigt wiederum der „Fahrtwind“ in Querrichtung an, der Winkel vergrößert sich, die Druckverteilung wird unsymmetrischer und die resultierende Kraft wächst, d.h. die Bewegung wird in der Störungsrichtung beschleunigt. Die Federkraft c·y des Schwingers steigt. Wenn die Federkraft größer ist als die Luftkraft, wird die Schwingungsrichtung umgedreht, der Prozess läuft jetzt in die andere Richtung und leistet ebenfalls wieder positive Arbeit. Es entstehen sehr starke Schwingungen mit niedriger Frequenz aber großer Amplitude, es ähnelt dem Gallopieren eines Pferdes, daher der Name Galloping. Die Bewegungsgleichung lautet:

Die resultierende Kraft in Bewegungsrichtung y kann aus der Summe der in Bezug auf die Anblasrichtung definierten Auftriebs- und Widerstandskräfte des Querschnit-tes ermittelt werden:

Die Auftriebskraft L (Lift) und die Windwiderstandskraft D (Drag) ergeben sich aus Windkanalversuchen, bei denen das Profil unter dem Winkel φ angeströmt wird. Der relative Anströmwinkel φ beträgt: .

Wenn Fy mit wachsendem φ größer wird, bedeutet dies, dass bei einer Abwärtsbewegung die aufwärts gerichtete Kraft einen Zuwachs erhält, also die Bewegung bremst. Wenn P mit steigendem φ dagegen kleiner wird, tritt eine zusätzliche negative Kraft auf, die die Bewegung unterstützt. Die Bewegung ist demnach

stabil, wenn gilt:

instabil, wenn gilt: .

Die Ableitung von Gleichung der resultierenden Kraft in Bewegungsrichtung y erfordert die Anwendung der Kettenregel. Es folgt:

Wenn φ klein ist, ist sin φ ~ 0, es verbleibt der zweite Term. Mit cosφ ~ 1 (kleiner Winkel ergibt ein Kriterium für instabiles Verhalten:
d.h. .

Da der aerodynamische Widerstand D stets positiv ist, tritt also Instabilität auf, wenn: .

Die Gradiente des im Windkanal gemessenen Auftriebsbeiwertes muss also im Bereich des jeweiligen Windeinfallswinkels negativ sein, um instabiles Verhalten hervorzurufen. In Bild 2.20 ist der Auftriebsbeiwert beispielhaft für den Rechteckquerschnitt dargestellt. Man beachte, dass die Ordinate negative Vorzeichen hat. Ein relativer Windeinfall im Bereich von -12° bis 12° würde also instabile Schwingungen hervorrufen, bei Einfallswinkeln über 12° ist das Verhalten stabil.

Man kann solche Schwingungen leicht selbst erzeugen. Fährt man mit einem kleinen Brett quer durch das Wasser, so stellt sich eine entsprechende Schwingung ein. Der Schwinger besteht in diesem Fall aus den Muskel(federn) und den Arm- und Brett!massen. Auch das seitliche, schwingungsartige Ausweichen der (kräftig ziehenden) Hände beim Kraulschwimmen, ist hierauf zurückzuführen.
Für Querschnitte mit konstanter Massenbelegung und konstanter Dicke ist die für das Auftreten von Gallopingschwingungen kritische Windgeschwindigkeit durch die folgende Beziehung gegeben: Die Einsetzgeschwindigkeit für Galloping vCG ist nach Gleichung (2.37) definiert:

Dabei sind:
Sc Scrutonzahl
n1,y Grundeigenfrequenz des Bauwerks für Querschwingungen. Näherungsformeln zur
Ermittlung der Grundeigenfrequenz sind in Anhang F angegeben
b maßgebende Breite des Querschnitts nach Tabelle 2.5
aG Stabilitätsbeiwert für Galloping (siehe Tabelle 2.5). Wenn kein Wert bekannt ist, kann mit aG = 10 gerechnet werden.

Die kritische Einsetzgeschwindigkeit ist also proportional zur sog. Scruton-Zahl (auch Massendämpfungsparameter genannt), zur Eigenfrequenz und umgekehrt proportional zum Stabilitätsbeiwert. Dieser ist in der folgenden Tabelle für verschiedene Querschnitte angeben.

Eine Ermittlung der Einsetzgeschwindigkeiten von realen Strukturen ist mit Hilfe des Konzepts der generalisierten Systemgrößen leicht möglich. Hierzu sind für die Masse und die Querschnittsbreite die entsprechenden generalisierten Größen einzusetzen. Es gilt:

Man erkennt, dass die generalisierte Masse und die generalisierte Breite den tat-sächlichen Werten entsprechen, wenn diese über der Systemlänge konstant sind. Schwingamplituden o.ä. können so nicht ermittelt werden. Hierzu ist eine vollständige Berechnung des Schwingers erforderlich. Die Berechnung gestaltet sich relativ ein-fach, wenn mit einem Zeitschrittverfahren gearbeitet wird. Hierzu muss der Verlauf des Druck- und des Auftriebsbeiwertes (D, L) bekannt sein. In jedem Zeitschritt wird die jeweilige Quergeschwindigkeit des Profils ermittelt, mit der anschließend im nächsten Zeitschritt die neue Beanspruchung F(t) nach Gleichung (2.30) bestimmt wird, usw. Um eine Querbewegung auszulösen, muss eine Anfangsstörung vorgegeben werden.
Galloping Erregungen wurden zuerst an vereisten Seilen von elektrischen Freileitungen beobachtet. Sie sind gekennzeichnet durch große Schwingungsamplituden und relativ niedrige Frequenzen. Durch das Anwachsen der Eisfahnen gegen den Wind ergeben sich aerodynamisch instabile Querschnitte, siehe Folgebild. In einigen Fällen werden Galloping Schwingungen auch an unvereisten, geschlagenen Seilen beobachtet. Bei geschlagenen Seilen treten, bedingt durch unterschiedliche Winkel der Litzen auf der Ober- und Unterseite bezüglich des Windes, ebenfalls bewegungsverstärkende Auftriebskräfte auf, die zu starken Seilschwingungen führen können. Gallopingschwingungen können durch Zusatzdämpfungsmaßnahmen an den Seilen leicht kontrolliert werden, vgl. die oben gegebenen Beziehungen für die Einsetzgeschwindigkeit und die dort im Zähler stehende Scoutonzahl. Damit steht die Dämpfung im Zähler und diese kontrolliert somit ganz wesentlich die Einsetzgeschwindigkeit.