Flattern und Divergenz

1. Divergenz

Unter Divergenz versteht man eine statische aeroelastische Instabilität. Die Luftkräfte sind größer als die elastischen Rückstellkräfte des Tragwerks. Im Bauwesen treten sie selten auf. Gefährdet sind sehr verformungsfähige Plattenstreifen o.ä., wie sie z.B. bei weich gelagerten Brücken (Hängebrücken o.ä.) vorkommen können. Wenn bei einer gegebenen Windgeschwindigkeit an einem Bauelement, das schräg in einem Luftstrom steht, ein aerodynamisches Torsionsmoment infolge der exzentrisch wirkenden Auftriebskräfte entsteht, das so gerichtet ist, das es die Drehung vergrößert, wird es bei größerem Drehwinkel ein größeres Torsionsmoment erzeugen, Bild 2.29. Das Torsionsmoment beansprucht die elastische Torsionsfeder des Bauelements. Wenn die Windgeschwindigkeit steigt, wird sich auch hierdurch das Torsionsmoment vergrößern, da größere exzentrische Auftriebskräfte auftreten. Bei einer gewissen, kritischen Windgeschwindigkeit wird das aerodynamische Torsionsmoment größer als das Torsionsmoment, das die elastische Drehfeder mit der Federsteifigkeit cT des Bauelementes beim gleichen Drehwinkel φ aufbauen kann (MT,el = cT·φ). Das Bauelement versagt dann durch eine instabile Torsionsverdrehung. Man spricht von statischer Divergenz. Schwingungen treten hierbei nicht auf. Das Phänomen entspricht dem klassischen Eulerschen Knickstab, bei dem die anwachsende Beanspruchung durch die verformungsbedingten Biegemomente entsteht. Bei Erreichen der kritischen Last werden die auslenkenden Biegemomente größer als die von der elastischen Struktur aktivierbaren inneren Biegemomente, der Stab knickt aus. Ähnlich wie ein Knickstab gegenüber einer Störung bei anwachsender Normalkraft immer weicher wird, wird auch die Drehsteifigkeit einer Platte im Wind bei ansteigender Windgeschwindigkeit immer geringer, die Torsionseigenfrequenzen sinken deshalb. Dies kann vor Erreichen zu einem Flattern des Querschnitts führen.
Um anfällig für Divergenz oder Flattern zu sein, muss ein Baukörper alle der drei folgenden Bedingungen erfüllen. Die Bedingungen sind in der gegebenen Reihenfolge zu prüfen. Wenn eine der Bedingungen nicht erfüllt ist, ist das Bauwerk oder das Bauteil nicht divergenz- oder flattergefährdet, vgl. dazu auch DIN 1055-4 (2005-03). a) Das Bauwerk oder ein wesentliches Teil von ihm muss einen langgestreckten Querschnitt aufweisen (ähnlich einer flachen Platte) mit einem Abmessungsver-hältnis von d/b ≥ 4. Dabei ist b die Querschnittshöhe des Baukörpers und d die Querschnittsbreite in Windrichtung. b) Die Torsionsachse muss parallel zur Plattenebene und normal zur Windrichtung verlaufen; außerdem muss die Torsionsachse mindestens um das Maß d/4 leewärts von der luvseitigen Kante der Platte entfernt sein. Dieses schließt auch den Fall ein, dass die Torsionsachse im Flächenschwerpunkt liegt. Dies ist z.B. bei einer mittig gelagerten Anzeigetafel oder einem mittig gestützten, freistehen-den Dach gegeben. Außerdem berücksichtigt es den Fall, dass die Torsionsach-se mit der leeseitigen Kante identisch ist, wie zum Beispiel bei einem auskra-genden, freistehenden Dach. c) Die niedrigste Eigenfrequenz muss zu einer Torsionsschwingung gehören oder eine Torsionseigenfrequenz muss weniger als das Doppelte der niedrigsten Ei-genfrequenz der translatorischen Schwingung betragen.

Die Windgeschwindigkeit, bei der Divergenz auftritt, lässt sich wie folgt ermitteln: Wirkt auf einen Abschnitt des Plattenstreifens der Breite „1“ (Bild 2.29) infolge der anströmenden Luft exzentrische Auftriebs- bzw. Abtriebskräfte, so lassen sich diese zu einer resultierenden, ex-zentrischen aerodynamischen Liftkraft L zusammenfassen. Messungen zeigen, dass diese etwa im Viertelspunkt anzuordnen ist (Bild 2.46). Die Liftkraft ergibt sich zu:

Hierin ist cL der in Versuchen, in Abhängigkeit vom Anstellwinkel φ, zu bestimmende Auftriebsbeiwert. Da nur kleine Veränderungen des Anstellwinkels betrachtet werden sollen, kann die Funktion des Auftriebsbeiwertes cL linearisiert werden. Es gilt dann:

Das auf die elastische Achse des Profils bezogene aerodynamische Moment ML ergibt sich dann zu:

Das elastische Rückstellmoment M_T,el des Querschnittes folgt mit der Drehfeldzahl c_T zu: .
Die statische Instabilität des Profils tritt auf, wenn: ,
also bei

Einsetzen von Gleichung 2.14 ergibt:

Durch Auflösen nach der Windgeschwindigkeit folgt die kritische Windgeschwindigkeit bei der Divergenz auftritt zu:

In der Literatur (und in der DIN 1055-4, Anhang E.3) wird die Formel gelegentlich auch mit Bezug auf die Ableitung des aerodynamischen Beiwertes für das Moment der Windkraft dargestellt. Wegen des Abstands b/4 vom Zentrum ergibt sich mit den hier eingeführten Bezeichnungen:

Hierdurch ist die Einsetzgeschwindigkeit festgelegt, ab der die Windkräfte so groß werden, dass sie die Rückstellenden Federkräfte des verdrehten Systems übertreffen. Es kommt zum schlagartigen Kippen des Profils!

2. Flattern

Das Entstehen von Flatterschwingungen erfordert zwei Schwingungsfreiheitsgrade, eine Biegeschwingung und eine Torsionsschwingung. Die beiden überlagerten Schwingungen müssen dabei phasenmäßig, d.h. in Bezug auf ihre zeitliche Abstim-mung so erfolgen, dass die anfachenden Luftkräfte über eine Schwingungsperiode eine positive Arbeit leisten. Stark gefährdet sind hierbei Hängebrückenähnliche Kon-struktionen, da diese sowohl biegeweich als auch torsionsweich sind, es können also Biege- und Torsionsschwingungen mit ähnlicher Frequenz auftreten. Ein einfaches Beispiel soll dies verdeutlichen. Das angeströmte Profil, also z.B. der Brückenquerschnitt, wird annähernd als ein System mit zwei Freiheitsgraden in einer ebenen Strömung betrachtet (Bild 2.31). Die Bewegung des Querschnitts soll so langsam erfolgen, dass sich in jeder Lage ein stationärer Zustand einstellt. Es bilden sich Wirbel, die durch die Grundströmung transportiert werden und die den Querschnitt mit variablen Druck- und Sogkräften belasten. Bild 2.30 zeigt beispielhaft eine Momentaufnahme der Druckverteilung an einem verdrehten H-Querschnitt.

Das folgende Bild zeigt den unverformten und verschobenen Querschnitt. Man erkennt, dass zwei Freiheitsgrade angesprochen werden:

  • Verschiebung
  • Verdrehung.

Der Querschnitt führt zwei harmonische Bewegungen aus: Eine

  • vertikale verschiebung y:
  • Verdrehung des Querschnittes um den Winkel φ: .

ωB und ωT sind die Eigenkreisfrequenzen (es gilt: ω = 2π·f) der beiden Freiheitsgra-de (Biegung und Torsion). Wenn die beiden Eigenkreisfrequenzen gleich sind (ωB = ωT = ω), ist bei richtiger Phasenlage der beiden Schwingungen eine ideale Selbstan-regung möglich. Bild 2.32 verdeutlicht dies. Im oberen Teil des Bildes 2.32 ist die Biegeschwingung mit der Torsionsschwingung in Phase, d.h. beide erreichen zum gleichen Zeitpunkt ihre Schwingungsnulllage: Durchbiegung und Torsionswinkel sind gleich Null. Im ersten Viertel der Schwingung sind Luftkraft und Bewegungsrichtung gleichgerichtet, es wird also positive Arbeit ge-leistet. Im zweiten Viertel sind Luftkraft und Bewegungsrichtung aber entgegenge-setzt, die entsprechende Arbeit ist negativ. Im dritten und vierten Viertel der Schwin-gung wiederholen sich Verhältnisse. Die Gesamtarbeit über eine Schwingungsperio-de ist also Null; es kann keine Schwingung angefacht werden. Im unteren Teil des Bildes 2.32 ist eine Phasenverschiebung von π/2 = 90° voraus-gesetzt. Die Torsionsverdrehung ist maximal, wenn die Durchbiegung Null ist. Jetzt ist die Luftkraft in jedem Viertel mit der Bewegung gleichgerichtet, es wird positive Arbeit geleistet, es wird eine Schwingung angefacht. Da hierbei gleichzeitig Biege- und Torsionsschwingungen auftreten, wird von Biegetorsionsflattern gesprochen.

Energiebilanz der Luftkräfte bei gekoppelter Biege- und Torsionsschwingung (Försching)

Die sich einstellende Biegetorsionsschwingung
ist durch eine Phasenverschiebung zwischen den Amplituden y0 und φ0 gekennzeichnet, die eine Energiezufuhr aus der Strömung bewirkt. Die Bewegungsgleichungen des betrachtenden Systems von zwei Freiheitsgraden sind:

mit
D_B Dämpfungsmaß der Biegeschwingung
D_T Dämpfungsmaß der Torsionsschwingung
m Masse der Brücke pro lfd. m Längsrichtung
φ polares Massenträgheitsmoment des Querschnitts
Die Lösung der Flattergleichungen führt zu einer kritischen Windgeschwindigkeit, bei der die Flatterschwingung beginnt. Diese wird auch als Einsetzgeschwindigkeit bezeichnet. Die dazu notwendigen Luftkräfte und deren Abhängigkeit von der Verschiebung und Verdrehung des Querschnittes müssen im Windkanal bestimmt werden.
Zur Abschätzung der kritischen Flattergeschwindigkeit kann folgende empirische Beziehung benutzt werden:

Darin sind:
b Brückenbreite
fB, fT Grundeigenfrequenzen der maßgeblichen Biege- und Torsionsschwingungsform
m Masse pro Längeneinheit
r Trägheitsradius
ρ 1,25 kg/m3 – Luftdichte

Um die Gefahr des Flatterns zu vermindern, sollte die Torsionseigenfrequenz f_T deutlich höher sein als die Biegeeigenfrequenz f_B. Hierdurch wird die Gefahr der Selbstanregung deutlich reduziert. Eine Erhöhung der Dämpfung beseitigt diese Gefahr dagegen nicht, es wird lediglich die kritische Flattergeschwindigkeit geringfügig angehoben, vgl. Bild 2.33.

Auf der Abszisse ist die Torsionseigenfrequenz fT und die Breite B bezogene, An-strömgeschwindigkeit ur und auf der Ordinate die Dämpfung, dargestellt durch aerodynamische Dämpfungsbeiwert nach Scanlan, eingetragen. Dieser Beiwert wird bei der Lösung der Bewegungsgleichung benötigt und charakterisiert die Torsionsschwingung eines Querschnitts. Analog wird auch der Strukturdämpfungsbeiwert definiert. Schneidet die -Kurve die -Linie, wird die kritische Flattergeschwindigkeit ur,krit erreicht. Man erkennt, dass die Anhebung der Strukturdämpfung um das Maß nur ein geringes Ansteigen der kritischen Einsetzgeschwindigkeit zur Folge hat. Man erkennt auch, das die Querschnittsform einen erheblichen Einfluss auf die Einsetzgeschwindigkeit hat. Das Profil der Tacoma-Brücke, die im Jahre 1940 nach spektakulären Flatterschwingungen einstürzte, war offenbar äußerst ungünstig, die kritische Flattergeschwindigkeit wird sehr früh erreicht. Andere Querschnittsformen verhalten sich hier wesentlich günstiger. Optimal ist offenbar der schlanke Querschnitt, wie er bei der Brücke über den Severn (Verbindung Brisol-Cardiff in Groß-Britannien) mit einer Spannweite von 988m erstmalig eingesetzt wurde. Die zugehörige Kurve schneidet die D* nie, der Querschnitt ist absolut flatterstabil. Moderne Brückenentwürfe lehnen sich deshalb an dieses Profil an. Deutliche Abweichungen können aber wieder zu Flattergefahr führen. Eine Erweiterung auf beliebig bewegte Systeme ist in (Starossek, 1992) zu finden. Die Bedingungen für plattenförmige Tragwerke aus dem EC 1991-4 Anhang E4 sind falsch. Untersuchungen an unserem Institut haben gezeigt, dass diese Bedingungen falsch sind, siehe Kirch 2010. Es wird vorgeschlagen die Untersuchungen mit Hilfe des Verfahrens von Klöppel/Thiele 1967 durch zuführen, das relativ einfach ist und eine hinreichend genau Abschätzung der Flattergefahr bringt. Die Flatterwindgeschwindigkeit des aeroelastischen Systems wird dabei mithilfe der potentialtheoretisch beschriebenen Umströmung des dünnen Plattenquerschnitts ermittelt (Lösung in Diagrammen grafisch aufbereitet). Für den real verwendeten Querschnitt wird das Ergebnis pauschal mit einem Faktor modifiziert, der als rein querschnittsabhängig (das ist bei genauerer Betrachtung nicht so) angenommen wird. Die mathematisch angemessene Beschreibung und Untersuchung selbst ebener aeroelastischer Modelle mit nur zwei aerodynamisch wirksamen Freiheitsgraden stellt eine anspruchsvolle Aufgabe dar. Umso wünschenswerter sind einfache Hilfen zur Abschätzung der Stabilitätsgefährdung eines aeroelastischen Systems, wie das Flat-tern beispielsweise einer schlanken Brücke unter Windanströmung. Der Bericht von Kirch 2010 aus unserem Institut beschreibt Untersuchungen zu der Qualität und den Anwendungsgrenzen verschiedener, aus dem Fachschrifttum bekannter Näherungsformeln für die Berechnung der Flatterwindgeschwindigkeit aeroelastischer Systeme. Genauere Algorithmen, die zur Berechnung der Referenzwerte herangezogen wer-den, sind ebenso wie die daraus folgenden Ergebnisse in dem Bericht ausführlich dokumentiert. Mit den erarbeiteten Empfehlungen wird vor allem dem entwerfenden Ingenieur eine Sammlung klarer und nachvollziehbarer Rechenbehelfe an die Hand gegeben.

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