Böenwirkungen

2.1 Böenschwingungen

Schwingungserscheinungen von schlanken Bauwerken im böigen Wind treten häufig auf: der schwankende Ampelmast oder die hohe Laterne im böigen Wind sind bekannten Beispiele. Das schwingende System entnimmt dem stochastischen Windprozess Energie im dem Frequenzbereich seiner Resonanzfrequenz. Hierdurch treten Resonanzvergrößerun-gen auf. Die Resonanzüberhöhungen erfordern eine dynamische Berechnung unter zufälligen Windeinwirkungen nach der Zufallsschwingungstheorie. In der Norm werden die Schwingungen näherungsweise erfasst, indem die zeitlich gemittelten, als statisch wirkend angenommenen Windkräfte um den sog. Böreaktionsfaktor G vergrößert werden.
Der Bönreaktionsfaktor erfasst sowohl die dynamische Resonanzüberhöhung der Tragstruktur als auch die räumliche Mittelung der Erregung durch Windturbulenz über die Größe der Lasteinzugsfläche. Die Bestimmung des Böreaktionsfaktors G ist im Anhang C der DIN 1055-4 geregelt, es gilt durch den NA auch für den EC 1991-4.
Das Verfahren zur Ermittlung des Böreaktionsfaktors nach C.3 der DIN 1055-4 gilt für vertikale Kragsysteme unter Berücksichtigung der Grundschwingungsform, für den Fall, dass linearelastische Verhalten angenommen werden darf. Es kann näherungsweise auch für horizontale Tragsysteme mit ähnlicher Schwingungsform (z.B. Einfeldträger) benutzt werden. Das Verfahren ist - zumindest in der in der Norm dargestellten Variante - nicht für durchlaufende Systeme wie z.B. abgespannte Masten, seilverspannte Brücken und Bogenbrücken geeignet. Die zufälligen Eigenschaften des Windes werden durch die Zufallsschwingungstheorie erfasst. Eine effiziente Methode ergibt sich hier durch das sog. Spektralverfahren, vgl. dazu Folgebild.

Hierbei wird für die Beschreibung des böigen Windes die sog. Leistungsspektraldichte des Windes verwendet, die beschreibt, wie die Varianzen des Windpro-zesses über der Frequenz verteilt sind, als Beschreibung des zufälligen Windes verwendet.
Das Verhalten des mechanischen Systems wird hierbei durch die sog. mechanische Leistungs-Übertragungsfunktion beschrieben. Die Vorgehensweise ist sehr ähnlich zur Vorgehensweise bei der Fourieranalyse, vgl. Grundlagen. Die Leistungs-Übertragungsfunktion (engl. Power-Spectral Density (PSD) ergibt sich aus dem Quadrat der Antwort, wenn eine harmonisch veränderliche Last der Größe 1 mit unterschiedlicher Frequenz an einer Struktur angreift und die sich unter dieser pulsierenden Einheitslast sich ergebenden Systemantworten ermittelt werden. Man erkennt, dass im Bereich der Resonanzspitze auch kleine Varianzen der Windkraft zu starken Antworten führen, der oben zitierte schwingende Licht- oder Ampelmast ist ein Beispiel hierfür.
Wenn nun das Windleistungsspektrum, das die Varianzanteile der Windkraft in den einzelnen Frequenzen enthält, mit der mechanischen Übertragungsfunktion multipliziert wird, ergibt sich für jede einzelne Frequenz die zughörige Varianz der Antwort des Systems. Die gesamte Antwort muss anschließend integriert werden, um die gesamte Varianz der Antwort zu erhalten und hieraus die zulässigen Werte für die Bemessung zu ermitteln, vgl. Bild.

Aus der so ermittelten Varianz ist durch Wurzelziehen die Standardabweichung zu bilden: .
Diese beschreibt die Schwankungsgröße des böigen Windes. Die ist zu überlagern mit der Antwort infolge der statischen Wirkung des mittleren Windes:
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Der in der Formel auftauchende Faktor g wird als peak-Faktor oder auch Spitzenwert bezeichnet. g legt die Überschreitungswahrscheinlichkeit fest. Je größer g ist, desto geringer ist die Überschreitungswahrscheinlichkeit. Dies wird deutlich aus Bild der Gausschen-Glockenkurve.
Kurze Erinnerung: Auf der Abszisse des Diagramms ist die streuende Größe dargestellt, also z.B. die Windgeschwindigkeit, die Betonfestigkeit etc. A_quer ist der Mittelwert der betrachteten Menge (also z.B. die mittlere Windgeschwindigkeit), die Maße nach rechts und links also, 1 x sigma, 2 x sigma etc. beschreiben den Abstand vom Mittelwert. 1 x sigma liegt genau dort, wo die Glockenkurve ihren Wendepunkt hat. Die Ordinate zeigt die Häufigkeit des Ereignisses. Bekanntlich ist die Größe der jeweils betrachteten Fläche - festgelegt durch die Glockenkurve und einer Geraden, die von der Abszisse vertikal nach oben gezeichnet wird - die Glockenkurve also gleichsam abschneidet - gleich der Auftretenswahrscheinlichkeit und die Fläche rechts der Geraden die Überschreitungswahrscheinlichkeit. Wenn diese Gerade also beim Mittelwert A_quer gezeichnet wird, wird die Fläche der Glockenkurve genau halbiert (Symmetrie), die Eintretens und die Überschreitungswahrscheinlcihkeit ergen sich beide zu 50%, d.h. 0,50. Die Fläche links von dieser Gerade legt den Wert der streuenden Größe fest, der mit der Wahrscheinlichkeit (=Fläche links von der Geraden) F_E erreicht wird. Die Fläche rechts der Geraden beschreibt die Überschreitungswahrscheinlichkeit F_Ü. Es gilt:
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Wenn man also auf der Abszisse ganz nach rechts geht, ist die Fläche gleich 1, d.h. die Eintretenswahrscheinlichkeit ist gleich 1, das Ergebnis tritt also sicher ein. Die Fläche rechts von diesem Punkt ist dann gleich Null, d.h. solche extremen Ereignisse werden nie erreicht oder überschritten. Wenn wir uns jetzt wieder ganz nach links orientieren, also zu den sehr kleinen Werten, ist die Fläche rechts davon sehr groß, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass diese sehr kleinen Werte überschritten werden, ist sehr groß. Ganz rechts ist es umgekhrt, die Fläche wird immer kleiner, d.h. das sehr große Werte überschritten werden ist wenig wahrscheinlich. Der Faktor, mit dem die Standardabweichung der streuenden Größe multipliziert wird, um das Abszissenmaß festzulegen, wird auch peak-Faktor oder Spitzenwert genannt. Er wird in den Windnormen mit g bezeichnet. Mit wachsendem Spitzenfaktor g wird die schraffierte Fläche rechts von dem Abszissenmaß g x sigma unter der Normalverteilung immer geringer, die Auftretenswahrscheinlichkeit wird also immer geringer.
In der folgenden Tabelle sind die Überschreitungswahrscheinlichkeiten (also die Integrale der Flächen für die gradzahligen sigma-Werte rechts vom Mittelwert angegeben. Es handelt sich also um die Überschreitungswahrscheinlichkeiten!

Man erkennt, wie mit steigendem sigma die Überschreitenswahrscheinlichkeit drastisch kleiner wird. Die sog. "Schwänze" der Verteilung enthalten nur sehr wenig Fläche. Letzendlich wird die Überschreitenswahrscheinlichkeit normativ festgelegt, allerdings nicht durch direkte Wahl der Überschreitenswahrscheinlichkeit. Übliche g-Werte liegen im Bereich von SChwingenden Bauwerken im Bereich von g=4. D.h. Die Überschreitenswahrscheinlcikeit beträgt etwa 0,0003. Eine Überschreitung kommt also im Mittel 1 / 0,00003 = 33.333 Jahre vor.

Die Vergrößerung der statischen Reaktion durch die Böenwirkung wird deutlich, wenn man das Verhältnis von Spitzenwert und Mittelwert bildet. Als Reaktions-größe wird dabei eine Verschiebung r = x herangezogen, die für das Schwingungsverhalten des Bauwerks charakteristisch ist:
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Dieses ist der sog. Böereaktionsfaktor G. Er liegt für Bauwerksantworten schlanker Bauwerke typischerweise in einer Größenordnung zwischen 3,5 und 4,0. Die statische Ersatzlast für die dynamische Windeinwirkung ergibt sich dann zu:
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In der Norm ist die Vorgehensweise vereinfacht im Anhang C aufbereitet. Die Windwirkung wird hierbei aufgespalten in einen resonanten Anteil (das ist die Fläche unter der Antwortspektraldichte im Resonanzbereich, vgl. dazu das Bild mit dem Spektralverfahren oben) und einen Restanteil außerhalb der Resonanzspitze. Der Restanteil wird als quasi-statische Reaktion bezeichnet. Das Verfahren ist in der Norm aufbereitet, es soll hier nicht weiter vertieft werden, zu den Hintergründen siehe (Niemann, Peil 2003).
Wichtig für die Anwendung des Anhangs C ist die Beschränkung auf Schwingungen in der Grundeigenform, die keinen Nulldurchgang aufweisen darf (vgl. Folgebild). Damit ist das Verfahren im Prinzip beschränkt auf einfache Kragträ-ger, und Einfeldträger. Wenn mehrere Eigenformen angesprochen werden, ist das Verfahren nicht mehr anwendbar.

Mit Hilfe des vom Institut für Stahlbau entwickelten Programm StTools können u.a. Böenschwingungen einfach berechnet werden. Hier sind auch die o.a. Be-schränkung aufgehoben. Man kann es unter der Adresse https://www.stwind.stahlbau.tu-braunschweig.de herunterladen.