# 2. Kerbgrund- oder Örtliches Konzept

2.1 Darstellung des Grundkonzeptes

DIe Grundidee des sog. Kerbgrundkonzeptes ist einfach:
Man stellt sich an der Stelle der maximalen Kerbbeanspruchung einen Probestab vor, der mit genau der maximalen Kerbbeanspruchung (Spannung oder Dehnung) beaufschlagt wird (Bild 2.1). Alle weiteren Untersuchungen werden dann am Probestab durchgeführt, bzw. wird auf vorhandene zurückgegriffen. Wenn das Vergalten der Probekörperes unter beliebiger Beanspruchung bekannt ist, hat man damit ein gutes Modell für die Beanspruchung in der tatsächlichen Kerbe. Da alles auf den Ersatzprobestab zurückgeführt wird, werden keine Details mehr benötigt, wie beim Konzept der Ermüdungs-Festigkeitslinien.


Bild 2.1: Kerbe und gedachter Ersatzprobestab mit gleicher Beanspruchung

Das Verfahren wird insbesondere genutzt, wenn größere oder große elasto-plastische Verformungen im Bereich des Kerbgrundes auftreten. Das Verfahren der Ermüdungs-Festigkeits-Kurven versagt dort.
Das Kerbgrund-Verfahren schließt also die Lücke zwischen Traglast und der Zeitfestigkeit. Im Abschnitt Ermüdungs-Festigkeits-Konzept haben wir diesen Bereich Kurzzeit-Festigkeit genannt. Der Vorteil ist, dass man nur eine werkstoffabhängige Ermüdungs-Festigkeistlinie benötigt. Die Vorgehensweise lässt sich in 4 Schritten darstellen:

  1. Ermittlung der elasto-plastischen Kerbgrundbeanspruchung
  2. Ermittlung der Schädigung über Hystereseflächenabhängige sog. Schädigungsparameter
  3. Vergleich der Schädigung mit den Ergebnissen der Werkstoffprobe, d.h. Bestimmung der absoluten Schädg.
  4. ggf. Schädigungsakkumulation

2.2 Ermittlung der elasto-plastischen Kerbbeanspruchung

Dies ist der aufwendigste Teil des Nachweises. Er ist aber sehr wichtig, da die genaue Bestimmung der tatsächlichen Beanspruchung naturgemäß einen großen Einfluss auf das Ergebnis hat.
Man würde vermutlich zunächst daran denken, die Kerbbeanspruchung mit Hilfe einer FE-Berechnung unter Berücksichtigung eines elasto-plastischen Stoffgesetzes zu ermitteln. Das ist aber eine numerisch sehr aufwändige Aufgabe mit leider oft sehr schlechter Konvergenz.
Aus diesem Grunde sind für praktische Anwendungen Näherungslösungen gefragt. Bei der Ermittlung der Näherungslösungen muss man sich in Erinnerung rufen, dass eigentlich nur die Hysteresengrößen, beschrieben durch die Hysteresen-Umkehrpunkte gesucht sind. In Bild 2.2 ist die Vorgehensweise verdeutlicht. Man sieht eine Gruppe von Hysteresen unterschiedlicher Größe. Wenn man die Umkehrpunkte verbindet, ergeben sich - wenn man dieses Kurve als Werkstoffgesetz einführt - zu jeder Dehnung immer genau die Hysteresen-Umkehrpunkte.


Bild 2.2: Hysteresen und Verbindungskurve ihrer Umkehrpunkte

Die Verbindungskurve der Umkehrpunkte wird versuchsmäßig bestimmt. Dazu werden auf jeder Laststufe zunächst einige Zyklen mit konstanter Dehnungsschwingbreite gefahren, die Hysteresen nähern sich dann einer Grenzkurve, die als gesättigte oder stabilisierte Hysterese bezeichnet wird. Die Verbindungslinie, mit denen die Umkehrpunkte dann verbunden werden, wird deshalb auch als stabilisierte, zyklische Spannungs-Dehnungskurve bezeichnet. Diese (rote) Kurve ist dann unser neues Werkstoffgesetz. Man entnimmt der Skizze in Bild 2.2, dass die stabilisierte, zyklische Spannungsdehnungskurve teilweise unterhalb der Erstbelastungs-Spannungs-Dehnungslinie liegt.
Die stabilisierte, zyklische Spannungsdehnungskurve (zSDK) ist noch einmal in BIld 2.3 als neues, zu verwendendes Werkstoffgesetz herausgezogen. Sie kann durch die sog. Ramberg-Osgood-Funktion gut beschrieben werden (Gl. 1). Es spaltet die gesamte elasto-plastische Dehnung eps_elp in einen elastsichen Anteil eps_el und einen rein plastischen Anteil eps_pl. auf.

Das Ramberg-Osgood-Gesetz lautet: ...................... (1).
Bild 2.3: Neues Werkstoffgesetz !

Der zyklische Verfestigungskoeffizient K' und der zyklische Verfestigungsexponent n' wie auch der Elastizitätsmodul E sind Werkstoffkennwerte, die in Versuchen ermittelt oder aus Datensammlungen entnommen werden können (z.B.: [1] Seeger, T., Zacher, P.: Lebensdauervorhersage zwischen Traglast und Dauerfestigkeit am Beispiel ausgeklinkter Träger. Bauingenieur 69 (1994), S. 13-23, mit vielen ergänzenden Literatur-Hinweisen! Auch in dem dreibändigen Sammelband [5] sind solche Werte für sehr viele unterschiedliche Werkstoffe angegeben. In Bild 2.4 ist eine Kopie einer Seite dargestellt.

Bild 2.4: Seite aus der Datensammlung [2].

Wenn das Werkstoffgesetz bekannt ist muss im nächsten Schritt der elasto-plastische Dehnungszustand im Kerbgrund bestimmt werden. Auch wenn nur die sSDK verwendte wird, wird die numerische Ermittlung der lokalen Beanspruchungen immer noch sehr aufwändig. Insbesondere daduch, dass die Konvergenz der numerischen Berechnung mit wachsender Beanspruchung, d.h. im Bereich größerer plastischer Dehnungen sehr schlecht wird. Um diese Probleme bei der praktischen Berechnung zu umgehen, wird ein einfaches Überschlagsverfahren angewendet, dass aber der Wirklichkeit ziemlich nahe kommt.

  1. Im ersten Schritt wird eine rein elastische Berechnung der Kerbbeanspruchung durchgeführt. Dies elastische Berechnung kann entweder eine FE-Berechnung sein, sie kann aber auch Kerbfaktoren [3] o.ä. verwenden. Wichtig ist, dass dabei der lokale 3D-Spannungszustand erfasst wird. Die rein elastische Berechnung ist in Bild 2.5 als strichpunktierte, blaue Linie dargestellt. Sie erfüllt sowohl das Gleichgewicht als auch die Kompatibilitätsforderungen. Unter einer vorgegebenen Dehnung eps_akt ergibt sich die Spannung sigma_el. (Unterstriche sollen auch hier wieder darauf hinweisen, dass der daran rechts anschließende Ausdruck ein Index sein soll).
  2. Diese elastische Spannung verletzt natürlich das Werkstoffgesetz, das durch die zSDK (rote Linie in Bild 2.5) dargestellt wird. Die richtige Lösung muss sowohl das Gleichgewicht, die Kompatibilität und das Werkstoffgestz erfüllen. Um beide Forderungen zu erfüllen hat Neuber den Vorschlag gemacht, man möge eine Ausgleichskurve zeichnen, die aus der Forderung abgeleitet wird, dass die elasto-plastische Arbeit und die rein elastische Arbeit gleich sind. Diese Annahme führt in der Tat auf recht gute Annäherungen an den tatsächlichen Beanspruchungszustand.


Bild 2.5: Ermittlung der elasto-plastischen Lösung mit dem Verfahren nach Neuber [3].

Mit der Dehnung eps_elp und der zugehörigen Spannung sig_elp (elastisch-plastisch) ist die lokale 3D-Kerbbeanspruchung bekannt. Der zur Ermittlung des Schnittpunktes [eps_elp, sig_epl] nach Neuber notwendige Iterationsprozess wird im Folgenden formelmäßig aufbereit und später auch als EXCEL-Tabelle angegeben. In den Formeln bedeuten:
....................... (2)

........................(3)
Linke Seite aufbereitet: (4)
zur Erinnerung: Ramberg-Osgood (5)
in rechte Seite eingesetzt: (6)
zusammengefasst: (7)

.

Nach Multiplikation beider Seiten mit E ergibt sich: ......... (8)

Es handelt sich um eine nichtlineare Gleichung, die iterativ gelöst werden muss. Dazu wird ein Schätzwert für sigma_elp vorggeben und dieser so lange verändert, bis sigma^2_el erreicht ist. Es wird hierfür später eine Excel-Tabelle bereitgestellt. Die Werte für k' und n' werden wieder aus der Literatur, z.B. [2] entnommen.

2.3 Bestimmung des Schädigungsbeitrages der einzelnen Hysteresen

Der Schädigungsbeitrag der unterschiedlich großen Hysteren wird in diesem Schritt bestimmt. Dazu wird ein sog. Schädigungsparameter eingeführt - der proportional zur Schädigung ist, selbst aber keine absolute Schädigung beschreibt - , der größere Hysteresen - beschrieben durch den größeren Abstand der Umkehrpunkte - starker wichtet, als kleine Hysteresen (Bild 2.6 und 2.7).

Bild 2.6 Hysteresen Bild 2.7 Schädigungsparameter

.

Man erkennt, wie durch den nichtlinearen Anstieg des Schädigungsparameters, die Schädigung p_SWT durch die Umkehrpunktsspannung sig_a2 etwa doppelt so groß ist, obwohl die Spannung sig_a2 nur etwa 50% größer ist als die Bezugsspannung sig_a1. Die Kurven sind nicht maßstäblich, sondern nur skizzenhaft dargestellt. Die mathematische Funktion des Schädigungsparameters, also der roten Kurve in Bild 2.7 lautet:

........... (9).

Die elastoplastischen Ermüdungsversuche werden dehnungsgesteuert gefahren, d.h. es wird eine Dehnung und keine Spannung vorgegeben. Nur so kann auch plastisches Verhalten erfasst werden. Anschließend werden die Wöhlerkurven mit Gl. (9) auf p_SWT umgerechnet. Die Hysteresenumkehrpunkte (Beanspruchungen) müssen ebenfalls auf p_SWT umgerechnet werden.

  1. Schädigungsparameter (hier: Smith-Watson-Topper, Index SWT) hat die Dimension einer Spannung. Er gibt nicht unmittelbar die Schädigung an, sondern ist proportional zu ihr.
  2. Er erfasst Mittel- und Eigenspannungen (siehe Faktor eps_epl,m) und über die Multiplikation σ * ε das Anwachsen der Hysteresen bei reinem Fließen, d.h. σ=const, ε <> 0 )
  3. Er wird nicht direkt verwendet, sondern wird genutzt, um Ermüdungs-Festigkeits-Kurven zu erstellen, die auf p_SWT bezogen sind. D.h. Umrechnen der Versuchsspannungen mit Dehnungen und E-Modul in p_SWT

Im Folgenden ist die Schädigungsparameter-Wöhlerlinie p_SWT für niedrig legierte Stähle angegeben, mit R_m < 570 N/mm2 :
....................(10).
Darin ist: R_m : Zugfestigkeit N : Bruch-Lastwechselzahl.

Funktional dargestellt ist sie in Bild 2.7:

Bild 2.7: Dehnungswöhlerlinie St355J2

Man beachte, dass als Ordinate der Schädigungsparameter p_SWT erscheint.
Bei einem vorliegenden Spannungs- oder besser Schädigungsparameter-Kollektiv wird ebenfalls mit der Palmgreen/Miner Regel auf die Gesamtschädigung geschlossen. Siehe dazu Palmgree/Miner Regel.

Beispiel:

Es wird ein Biegeträger mit Stegfenstern untersucht.


Bild 2.8: Beispielanwendung: Biegeträger mit Stegfenstern

Die zugehörige zSDK ist in Bild 2.9 definiert:

Bild 2.9: zyklische Spannungs-Dehnungs-Kurve (zSDK)


Damit entwickelt sich die Rechnung, wie folgt:

.

Für die Schädigungsparameter p_SWT wird elast.-plast. Dehnungsamplitude eps_epl,a benötigt. Mit der Ramberg-Osgood-Funktion Gl (1) folgt:
..................... (11)
Umrechnung der Spannung in Schädigungskennwert p_SWT:
......................(12)

Hiermit kann in die Schädigungsparameter-Linie "eingestiegen" werden. Die Ablesung in Bild 2.10 ergibt eine Lastwechselzahl bis zum Anriss von N=24.000. Oder durch Iteratives Lösen von Gl. (8).


Bild 2.10: Ablesung der Bruchlastspielzahl

Neben dem hier vorgestellten Vorgehen gibt es neben dem Schädigungsparameter p_SWT auch andere Ansätze, um den Zusammenhang zwischen Dehnungsamplituden und Schädigung zu beschreiben. Erwähnt seien hier die Schädigungsparameter von Bergmann, Haibach und Lehrke und Heitmann.
.

Lösung der nichtlinearen Gleichung mit Hilfe von Excel:

Excel wartet mit zwei Möglichkeiten auf, um nichtlineare Gleichungen zu lösen:

  1. Zielwertsuche, dabei wird die Gleichung als Startzelle gewählt, und dann der Wert ermittelt, der zu einem Zielwert führt. Lästig ist dabei, dass immer ein Fenster bedient werden muss.
  2. Iteration von Hand, Einfache Methode

    Bild 2.11: Excel-Sheet
    Die Lastwechselzahl N im grünen Feld C13 ist so lange zu verändern, bis der berechnete Schädigungsparameter p_SWT im Feld D8 gleich der Vorgabe im Feld C8 ist. Die Eingabewerte in den gelben Feldern sind vorher einzugeben. Da man hier ständig Zahlen eingeben muss ist das Ganze etwas lästig. Einfacher ist die Nutzung des Excel-Solvers.
  3. Bei Nutzung des Solvers wird eine Zielwert- und Veränderlichen-Zelle definiert. Letztere wird automatisch so lange verändert, bis der Zielwert erreicht ist. Hierin wird Zielwert und Veränderlichen-Zelle definiert. Die Veränderlichen-Zelle wird automatisch so lange verändert, bis der Zielwert erreicht ist.
    Solver ist ein Add-In-Programm für Excel, das man für Was-wäre-wenn-Analysen verwenden kann. Mithilfe von Solver kann man den richtigen Wert für eine Formel in einer als Zielzelle bezeichneten Tabellenzelle ermitteln, die Nebenbedingungen, oder Einschränkungen, der Werte anderer Formelzellen auf einem Arbeitsblatt unterliegt. In Solver wird mit einer Gruppe von Zellen gearbeitet, die als "veränderbare Zellen" oder einfach "Variablenzellen" bezeichnet werden und zur Berechnung der Formeln in den Zielzellen und Nebenbedingungszellen verwendet werden. Solver passt die Werte in den Variablenzellen an, so dass sie den Einschränkungen für Nebenbedingungszellen entsprechen und das für die Zielzelle gewünschte Ergebnis erzeugt wird. Hiermit kann man z.B. iterativ nichtlineare Gleichungssysteme lösen. Die Zielzelle muss immer die Berechnungsformel enthalten. Bei unserem Beispiel sind keine Nebenbedingungen enthalten. Zunächst muss jedoch die Solver App von Excel installiert werden. Dazu im Excel unter Extras (ganz oben)/ Excel-Add-ins… ein Häkchen bei Solver setzen (solver-Hilfe bei www.solver.com). Bestätigen, basta così! Nach Installation taucht in der Menüleiste unter “Daten“ das Solver-Icon auf: .

NAch Anklicken des Solver-Icons öffnet sich das Solver-Menüfenster. Das Solver-Menü wird wie folgt ausgefüllt:
Der Ausdruck =F4=1 bedeutet: Wenn F4 = 1 ist, dann ..solve! Zur Vereinfachung wurde in F4 das Ergebnis einer Abfrage numerisch abgelegt. Damit sollen längere Abfragen mit Wenn(D4="sig_elp", .... vermieden werden. Die gewählten Gleichungen erscheinen dann als Bild oben, nach vorheriger Auswahl in der Combobox D4. Die Combobox kann einfach über die Auswahl der Reiter Daten/Datenüberprüfung/Datenüberprüfung angelegt werden. Im dann erscheinenden Pop-up-Menü Eingabemeldung anklicken und unter Titel, die Bezeichnungen der Combobox mit Semikolon getrennt eingeben. sig_epl;N__ Die Eingabefelder sind wieder gelb angelegt. Wenn sig_epl ausgewählt wurde, wird zusätzlich ein weiteres Eingabefeld gelb angelegt, das den Wert für n‘ aufnimmt. Die farbliche Unterlegung kann mit Hilfe der sog. Bedingten Formatierung gelöst werden. Dazu das Feld anklicken, dann unter Start/Bedingte Formatierung anklicken Im Menü dann "Neue Regel…" wählen. Bild 2.12: Abdruck Excel-Sheets mit Iteration zur Ermittlung von σ_elp

Weitere Eingaben wie in Screen-shot. Die Formel, die die Formatierung steuert, wird eingetragen, hier z.B.: =F4=1 Unter Formatieren: geht ein Menü auf, dort benutzerdefiniertes Format wählen und im aufgehenden Formatierungsmenü unter Ausfüllen, die Farbe gelb wählen,ggf. Schrift schwarz. Dies wird dann eingestellt, wenn die Formel erfüllt ist. Die Umdefinition auf eine Zahl in F4 wurde vorgenommen, um die Abfragen kurz halten zu können, sieh eoben. Im Solver wird die zu berechnende Zielzelle E8 eingegeben und die Zelle D13, die geändert wird, damit der Zielwert erreicht wird. Die Eingabe des Zielwertes in D8 dient nur der Erinnerung an die Zahl, sie kann (leider) nicht automatisch eingetragen werden, sondern muss im Solver als Wert eingegeben werden. Es sollte in Zelle D13 ein Startwert stehen, vielleicht 1. Wenn nichts steht, kann die Iteration ggf. schiefgehen, d.h. nicht konvergieren.


Bild 2.13: Abdruck Excel-Sheets mit Iteration zur Ermittlung von N

Die Dateneingabebezeichnung n‘ entfällt hier, da der Wert nicht benötigt wird. Formel in C9: =WENN(F4=1;" n' =";" "). Um ein Rechenblatt zu bekommen, in dem allte Eingangswerte gezeigt werden, wurden die zu iterierenden Formel auf einem weiteren Blatt abgelegt (Bild 2.14).

Bild 2.14: Formel, die bei der entsprechenden Auswahl auf dem Hauptrechenblatt erscheinen.

Das Anzeigen der richtigen Formel in Abhängigkeit der Auswahl der Combobox ist etwas schwieriger und trickreich. Dehalb sollen hier kommentarlos, die einzelnen Schritte dargestellt werden:

  1. Verweis auf Bild erstellen
  2. Ausgangszelle Gleichgn!A1 mit Grafik kopieren. (Gleichgn! bezeichn. das Blatt)
  3. In Zielzelle Iterat!F3 mit Option Verknüpfte Grafik einfügen (Mac: Start/Einfügen (kleiner Pfeil rechts), verknüpftes Bild anklicken)
  4. Für jede Grafik Namen erstellen: Formeln -> Namen definieren Name: Bild01
  5. Bezieht sich auf: =INDIREKT("Gleichgn!$A"&+Iterat!$F$4) Formeln -> Namen definieren Name: Bild02
  6. Bezieht sich auf: =INDIREKT("Gleichgn!$A"&+Iterat!$F$4) Wiederholen für weitere Bilder …
  7. Verweis auf Namen anpassen:
  8. Einmalig: Auf Grafik in Iterat!F3 klicken und Verweis anpassen: =Bild01   Referenz: https://www.youtube.com/watch?v=Ot-iwCUng8M

Literatur

  1. Seeger, T., Zacher, P.: Lebensdauervorhersage zwischen Traglast und Dauerfestigkeit am Beispiel ausgeklinkter Träger. Bauingenieur 69 (1994), S. 13-23
  2. Boller, Chr., T. Seeger: Materials Data for Cyclic Loading. Elsevier, 22.10.2013 - 576 Seiten
  3. Neuber: Kerbfaktoren ...***
  4. Seeger, T.: Stahlbau-Handbuch. Band 1 Teil B/12, Grundlagen für Betriebfestigkeitsnachweise. Stahlbau-Verlagsgesellschaft, Köln 1996
  5. Haibach, E.: Betriebsfestigkeit – Verfahren und Daten zur Bauteilberechnung. VDI-Verlag, Düsseldorf, 1989
  6. Naubereit, H., Weihert, J.: Einführung in die Ermüdungsfestigkeit. Carl Hanser Verlag, München 1999 (Lehrbuch mit Rechenprogramm auf CD)
  7. Masing, G.: Eigenspannungen und Verfestigung beim Messing. Proc. 2nd. Int. Conf. Applied Mech., Zürich (1926), S. 332-335
  8. Seeger, T.; Beste, A.: Zur Weiterentwicklung von Näherungsformeln für die Berech-nung im elastisch-plastischen Bereich. VDI-Fortschrittsberichte, Reihe 18, Heft 2, 1977
  9. Bergmann, J.W.: Zur Betriebsfestigkeitsbemessung gekerbter Bauteile auf Grund-lage der örtlichen Beanspruchung. Dissertation, TH Darmstadt 1983
  10. Heitmann, H. H.: Betriebsfestigkeit von Stahl: Vorhersage der technischen Anriss-lebensdauer unter Berücksichtigung des Verhaltens von Mikrorissen. Dissertation, TH Aachen 1983