Grundlagen der Dynamik

Inhalt:

1. Einheitensysteme in der Dynamik

Wichtig ist, um spätere Probleme zu vermeiden, in einem festen Einheitensystem zu arbeiten. In dere folgenden Tabelle sind die im Bauingenieurwesen sinnvollen Einheitensysteme angegeben:

Die Masse ergibt sich aus der Gewichtskraft der Masse nach Division durch die Erdbeschleunigung g=9,81m/s:
Alle Eingabegrößen müssen also in einem System angegeben werden, d.h. z.B. die Längen in m, Querschnittswerte z.B. in m^2 oder m^4, der Elastizitätsmodul in kN/m^2, die Massen in kN,m und sec, d.h. in to (siehe Tabelle) etc.
Die Gewichtskraft der Masse ist das Gewicht (Eigengewicht, Stoffgewicht) mit dem üblicherweise in der Statik gearbeitet wird, z.B. in N, kN, MN etc. oder kN/m^3, oder kN/m^2 etc. Wichtig ist es bei der Umrechnung in die Masse, die richtigen Werte für die Erdbeschleunigung einzugeben. Bei Verwendung des kN,m,s Systems reicht es (in unseren Breiten), die Gewichte näherungsweise durch 10 zu teilen, um die Masse zu erhalten. Exakt muss durch 9,81 geteilt werden.

2. Differentialgleichung mechanischer Schwingungen

Es ist nützlich, wenn man sich kurz klarmacht, auf welch einfachen Grundlagen die mechanische Schwingungslehre beruht. Hierzu dient das einfache eine Schwingers mit nur einem Freiheitsgrad u, bestehend aus einer Masse, einer Feder und einem Dämpfer. An der Masse greift eine zeitveränderliche Kraft F(t) an:
Wenn sich das Modell bewegen soll, müssen Kräfte wirken. Es ist die Federkraft, die Dämpferkraft,die Massenkraft. Die Masse verschiebt sich um das Maß u, mit dere Geschwindigkeit u' und der Beschleunigung u'':

Die Federkraft Fk ergibt sich aus dem Hooksche Gesetz (Ut tensio sic vis: Wie die Kraft so der Weg, d.h. Proportionalität). Faktor k ist die Steifigkeit in kN/m.
Die Dämpferkraft Fd ist proportional zur Geschwindigkeit u', eine Tatsache, die man beim Stoßdämpfertest am Auto ausnützt. D ist die Dämpferkonstante mit der Dimension [kN/(m/s) = kN s/m].
Die Massenkraft Fm entspricht dem Newtonschen Axiom: F=a x m, d.h. Beschleunigung (acceleration) a mal der Masse m. Die Masse muss also die Dimension [kN/(m/s^2)=kN s^2 /m] haben. Diese drei Kräfte widerstehen zu jedem Zeitpunkt der äußeren Kraft F(t), es ergibt sich die Differentialgleichung (DGL) der mechanischen Schwingung.:

Die Differentialgleichung ist in diesem Fall ist also nichts weiter als eine einfache Kräfte-Gleichgewichtsbedingung.

3. Lösung der DGL:

Es ist am einfachsten, wenn man zunächst zwei Sonderfälle betrachtet:

  • freie Schwingung, d.h. F(t) = 0
  • erzwungene Schwingung, d.h. F(t) <> 0

3.1 Freie Schwingung:

Im ersten Schritt wird die ohnehin sehr kleine Dämpferkraft vernachlässigt, d.h. Fd = D*u' = 0.
Der entscheidende Schritt ist, dass eine Funktion gewählt wird, deren 2. Ableitung gleich der negativen Funktion selbst ist. Solche Funktionen sind z.B. die sin- und cos-Funktionen. Hier wird im ersten Schritt die sin-Funktion gewählt. Es muss hier nicht die Wurzel aus dem Quotienten K/M genommen werden, es geht genauso mit dem Ansatz K/M, der Wurzelausdruck erweist sich lediglich später als bequemer.


Der Formelansatz erfüllt also die Differentialgleichung.

Was bedeuten aber jetzt die Parameter Wurzel(K/M) und der Vorfaktor a?

Die Abkürzung ist die Eigenfrequenz. Sie ist als sog. Kreisfrequenz gegeben. D.h. es wird gezählt, wieviel Bogenlänge je Zeiteinheit beim Einheitskreis überstrichen wird. Dimension ist 1/Sekunde. Im Bauwesen ist das Arbeiten mit der sog. Frequenz üblich. Diese ergibt sich aus der Kreisfrequenz durch Multiplikation mit 2pi. Dimension ist Hertz, kurz Hz. Sie gibt an die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde.Wenn der Einheitsvektor einmal umgelaufen ist, hat er die Strecke 2pi überstrichen, dann geht der Prozess von neuem los:

Die Periode und die Frequenz stehen in einem festen Verhältnis zueinander. Die Perioden-Schwingzeit T ergibt sich aus dem Kehrwert der Frequenz in Hertz:

Bei allgemeiner Phasenlage gilt der Ansatz:

Wahl der Funktion hängt ab von den Anfangsbedingungen! Diese sind für die Beurteilung einer harmonischen Schwingung eigentlich ohne Belang. Vollständige Lösung beschreibt beliebige Phasenlage. Wird aber für die Beurteilung von praktischen Problemen in der Regel nicht benötigt!

Im Folgenden wird die Dämpfung berücksichtigt:
Die Lösung der DGL mit dem Dämpfungsglied gelingt einfach über den sog. Exponentialansatz. Dabei wird eine Funktion u = e^(lambda*t) gewählt.
Differenziert und in die DGL eingesetzt, folgt eine quadratische Gleichung mit einem Wurzelglied, bei dem der Radikant eine Summe darstellt. Je nach Größe und Vorzeichen der Glieder des Radikanten kann die Wurzel reel oder imaginär werden. Deshalb wird der Radikant in diesem Fall auch als Diskriminante (lat. discriminare = unterscheiden) genannt.

Man erkennt, dass bei großer Dämpfung D und kleiner Masse das erste Glied das zweite absolut überragen kann, der Ausdruck ist positiv, die Wurzel ist reell. Als Lösung ergibt sich keine Schwingung mehr, der ausgelenkte SChwinger kriecht in die Null-Lage zurück.
Bei negativem Radikant wird die Wurzel imaginär, d.h. es treten auch imaginäre Lösungsgleichungen auf. Imaginäre Funktionen bestehen aus einem reellen cos-Term und einem imaginären Sinusterm. Anders formuliert: Bei imaginären Lösungen treten Schwingungen auf. Nach einiger Zwischenrechnung ergibt sich der folgende Formelausdruck:

Man erkennt, dass bei negativem Radikanden als Lösung eine Schwingung entsteht, die allerdings gedämpft ist, die e-Funktion als Vorfaktor der trigonometrische Funktionen bewirkt eine stets Abnahme der Amplituden.
Der Wert der Dämpfung D, bei dem der erste Term unter der Wurzel gleich groß wird wie der zweite aber negative - d.h. der Radikand wird gleich Null - ist der Umschlagpunkt des Verhaltens. In diesem Fall wird die Eigenfrequenz omega_d gleich Null, d.h. es gibt keine Schwingung mehr.
Die Dämpfung bei der der Radikand gleich Null wird, wird als kritische Dämpfung bezeichnet, weil jede Erhöhung von D über diesen Punkt hinaus zum Rückkriechen ohne Schwingungen führt, es tritt keine Schwingung mehr auf. Oder anders herum: Jede Verkleinerung unter den kritischen Wert von D führt zu einer Schwingung. Dies macht den Bedeutung des Wortes kritisch vermutlich aus.
Man erkennt auch, dass die Eigenfrequenz omega unter die des ungedämpften Systems absinkt, wenn die Dämpfung größer wird. Anschaulich Der Löffel bewegt sich umso zäher durch den Honigtopf, je steifer der Honig wird, dadurch sinkt die Eigenfrequenz.
Die tatsächliche Dämpfung des Systems, die i.a. sehr viel kleiner ist als die kritische, wird häufig zu dieser ins Verhältnis gesetzt: d.h. ksi=D/Dkrit. Dieses Dämpfungsmaß wird häufig als Lehrsches Dämpfungsmaß bezeichnet.
3.2 Erzwungene Schwingungen

Unter erzwungenen Schwingungen versteht man solche, bei denen - im Gegensatz zur freien Schwingung - eine äußere Kraft beliebigen Zeitverlaufes am Schwinger angreift, F(t) ist also in diesem Falle ungleich Null. Die Lösung der inhomogenen DGL wird einfach, wenn wir voraussetzen, dass die angreifende Kraft einen sinusförmigen Zeitverlauf mit der Frequenz (groß) Omega hat. Groß Omega ist die Erregerfrequenz, klein omega die System-Eigenfrequenz.
Bei einer erzwungenen Schwingung bewegt sich das System genau im Takte der Erregung, d.h. auch die sin- und cos-Terme der linken Gleichungsseite hängen jetzt von groß Omega ab.
Damit ist die Lösung trivial, denn die störenden sinus-Terme kürzen sich auf beiden Seiten heraus, es verbleiben nur die Vorfaktoren, also die Amplituden der einzelnen sin-Terme. Diese lassen sich nach der Unbekannten u auflösen, d.h. nach der gesuchten unbekannten Verschiebung unter einer harmonischen Erregung F.

Die Gleichung lässt sich auch wie folgt formulieren: ,
mit der sog. Vergrößerungsfunktion V. Diese ist die rein statische Verschiebungsamplitude, die man erhalten würde, wenn die Last F(t) rein statisch (also mit einer konstanten Last-Zeitfunktion der Größe F quer) einwirken würde. Der zweite Term wird als sog. Vergrößerungsfunktion definiert.

Bei gedämpften Systemen ändert sich die Vergrößerungsfunktion, es tritt ein weiterer Term im Nenner auf, der die Dämpfung in Form des oben angegebenen Lehrschen-Dämpfungsmaßes beschreibt.

Im folgenden Bild ist die Gleichung ausgewertet. Man erkennt, das die Vergrößerungsfunktion abhängt von der Größe des Dämpfungsmaßes (Kurvenparameter) als auch vom Verhältnis der Erregerfrequenz zur Eingenfrequenz. Durch die Invertierung der Achsbezeichnung in der rechten Hälfte gelingt es, die Kurven =0 auf Null herunterzuziehen und die Funktion dort zu beenden. Wenn, wie oft, der linke Parameter durchgängig verwendet würde, würden die Kurven erst im Unendlichen den Wert V=0 erreichen.
Der maximale Wert einer jeden Vergrößerungsfunktion tritt im Fall =1, d.h. im Resonanzfall auf, er beträgt dort allgemein: .
Achtung: Im folgenden Bild sinf die Dämpfungsverhältnisse Ksi als Kurvenparameter angegeben, nicht das logarithmische Dekrement delta! Der Zusammenhang zwischen Dämpfungsgrad Ksi und logarithmischem Dekrement lautet: .
Bei kleinen Dämpfungen, wie sie im Bauwesen typisch sind, kann das quadratische Glied im Nenner vernachlässigt werden, die Formel vereinfacht sich dann zu: . Überprüfungg des Diagramms auf richtige Maximalwerte: z.B: . Ok!
Die Maximalwerte verschieben sich geringfügig von der Resonanzstelle mit steigender Dämpfung. Den Die Lage des Maximalwertes findet man leicht durch Ableitung der Vergrößerungsfunktion nach eta und anschließendem Nullsetzen (vgl. Mini-Max-Rechnung).
Da die logarithmischen Dekremente i. allg. gering sind, z.B. bei einem Stahlkamin mit delta=0.01, ergeben sich sehr große Resonanzantworten mit einem dynamische Vergrößerungsfaktor von pi/0.01=314!

Im unteren Bildteil ist der sog. Phasengang dargestellt, d.h. der zeitliche Unterschied zwischen der Erregerfunktion und der Systemantwort. Bei Dämpfungsmaß =0 verläuft der Phasengang auf der schwarzen Kurve, d.h., er bleibt bei phi =0 und springt an der Resonanzstelle auf pi. Im ersten Fall folgt das System der Anregung also gleichsinnig, allerdings mit unterschiedlichen Antwortamplituden, aber immer im selben Zeitverlauf. Oberhalb der Resonanzstelle springt die Phase schlagartig auf Pi, d.h. die Antwort ist der Erregung genau entgegengesetzt, also gegensinnig. Siehe:

Sobald das System gedämpft ist tritt eien Phasenverschiebung zwische Erregung und Systemantwort auf, d.h. das System antwortet später als die einwirkende Erregung. Je größer die Dämpfung, desto größer die zeitliche Verschiebung, d.h. der Phasenunterschied. Die Systemantwort erfolgt im Takte der Erregung, d.h. mit gleicher Frequenz, aber eben nur zeitversetzt::

Im folgenden Video ist das Verhalten verdeutlicht. Dere SChwinger besteht aus einer Kugelmasse und einem Gummiband als Feder. Die Erregung wird aals Fußpunkterregung am Gummiband vorgenommen.
Im Resonanzfall werden die Schwingungsamplituden nur durch die Dämpfung begrenzt. Erregerkraft und Dämpferkraft stehen im Gleichgewicht, die Federkraft und die Massenkraft sind phasenverschoben ebenfalls im Gleichgewicht. Das folgende kleine Video macht die Phasenlagen deutlich. Das System besteht aus einer kleinen Masse, die an einem Gummiband aufgehängt ist. Als Erregung wird hier keine Erregung an der Masse angesetzt, das wäre zu kompliziert, sondern eine Fußpunkterregung. Es lässt sich zeigen - und das wird später gemacht - dass eine Krafterregung an der Masse und eine Fußpunkterregung (auch algebraisch) indentisch sind oder besser gemacht werden können.

Video 1: Phasenlage bei unterschiedlicher Erregung (ggf. aufs Bild klicken)

Man erkennt sehr schön, wie bei langsamer Erregung des Fußpunktes die Masse gleichsinnig der Fußpunktbewegung folgt. Bei Überschreiten der Eigenfrequenz tritt der erwähnte Phasensprung auf, die Kugel bewegt sich immer entgegen der Kraft, d.h. gegensinnig.

Da sich die Tragwerke je nach Eigenfrequenz bei einwirkenden Erregerfrequenzen unterschiedlich verhalten, spricht man auch von Abstimmung des Tragwerkes (das Bauwerk wird durch Steifigkeits- und Massenwahl wie eine Geige gestimmt).
a) Hochabstimmung (<0.6 ): Das Tragwerk hat hohe Eigenfrequenzen, die Erregerfrequenzen sind damit verglichen niedrig, die Krafteinwirkungen erfolgen relativ langsam, d.h. quasistatisch. Die Massen- und Dämpfungskräfte sind klein.
b) Tiefabstimmung ( >1.2 oder 1/=0.8): Die Erregerfrequenz ist deutlich höher als die Systemeigenfrequenz, das System ist also tief abgestimmt. Die schnell veränderlichen Einwirkungen setzen sich weitgehend mit der Massenkraft ins Gleichgewicht, die Verformungen und die Federkräfte bleiben klein, der Vergrößerungsfaktor geht mit wachsender Frequenz gegen Null.
c) Resonanz (0.8><1.2 ): Wenn die Erregerfrequenz (etwa) gleich der Systemeigenfrequenz ist, liegt Resonanzerregung vor. Wegen der sehr kleinen Dämpfungskräfte bei schwach gedämpften Systemen sind deshalb die dynamischen Vergrößerungsfaktoren sehr groß. Resonanzerregung ist durch geeignete Systemverstimmung möglichst zu vermeiden. Gelegentlich wird der Resonanzeffekt bewusst verwendet, um Wirkungen gezielt zu verstärken.

Wenn also Schwingungen z.B. einer Maschine nicht auf die Unterkonstruktion oder auf das Bauwerk übertragen werden sollen (Schwingungsisolierung), muss das Tragwerk stets tief abgestimmt sein, d.h. man liegt rechts von der Resonanzfrequenz. Hier werden die Federkräfte, die an das Bauwerk weitergeleitet werden, deutlich kleiner als die rein statische Auslenkung. Unsinnig wäre es, die Maschine hoch abzustimmen (links von der Resonanzfrequenz), da hier die Federkräfte größer würden als im rein statischen Zustand. Als wichtige Aufgabe bei vielen Schwingungsproblemen ist deshalb die hinreichend genaue Bestimmung der Resonanzfrequenzen anzusehen. Wenn man Systeme verstimmen möchte, um Resonanz zu vermeiden, kann man demnach entweder die Massen und/oder die Steifigkeiten verändern. Da beide Größen unter der Wurzel stehen, müssen jedoch deutliche Änderungen der Systemwerte vorgenommen werden, wenn die Eigenfrequenzverschiebungen deutlich werden sollen. Außerdem ziehen Versteifung auch stets Massenerhöhungen nach sich, so dass der Effekt wieder teilweise kompensiert wird.

4. Reduktion komplexer Systeme auf Einmassenschwinger

Im oben Dargestellten wurde nur der sog. Einmassenschwinger behandelt, d.h. ein Schwinger mit nur einem Freiheitsgrad. Reale System haben allerdings im Grenzfall unendlich viele Freiheitsgrade. Dies setzt eine Erweiterung der oben dargestellten Theorie auf Mehr-Freiheitsgrad-Systeme voraus. Die wesentlcihen Erkenntnisse, die oben gewonnen wurden, werden dadurch erfreulicherweise nicht geändert.
Wenn man nicht ganze Systeme dynamisch berechnen möchte (i.a. mit Hilfe entsprechender Rechenprogramme), kann man viele Systeme dennoch näherungsweise auf dynamisch äquivalente Einmassenschwinger reduzieren. Das geht allerdiings nur für eine Schwingungsform eines Systems.
Das Abbilden von Mehrfreiheitsgradsystemen auf dynamisch äquivalente Einmassenschwinger, nennt man Generalisieren. Der Einmassenschwinger wird dazu durch eine generalisierten Masse, eine generalisierten Steifkeit dargestellt und durch eine generalisierte Kraft erregt.
Bei der Generalisierung wird das nur in einer Eigenform φ*(x) schwingende System durch einen Einmassenschwinger am interessierenden Ort xE ersetzt, der die gleiche

  • Schwingamplitude φ*(xE) und die gleiche
  • kinetische Energie aufweist.


Im o.a. BIld ist der generalisierte Einmassenschwinger in der Höhe xE gedanklich angebracht worden, weil die Reaktionen des tatsächlichen Systems an dieser Stelle interessierten. Im Regelfall wird man sich für die maximalen Spitzen-Amplituden interessieren, dann wird der generalisierte Einmassenschwinger gedanklich an der Spitze, also bei xE=h angebracht. Für die Bestimmung der generalsierten Größen muss die Eigen-SChwingform bekannt sein, also die Schwingungsform, bei der das System unter der betrachteten Eigenfrequenz schwingt. Die ERleichterung besteht adrin, dass hierfür auch Näherungen gewählt werden können, z.B. die Funktion der Biegelinie unter Eigengewicht oder aber sogar eine lineare FUnktion. Die gewählte Funktion muss das Verhalten grob darstellen, evtl. Nulldurchgänge müssen also mit erfasst werden:

Die sog. generalisierte Masse ergibt sich durch Integration der verteilten Massen multipliziert mit dem Quadrat der i-ten Eigenform phi_i über die Länge. phi_i ist die Schwingungsform, die zur untersuchten i-ten Eigenfrequenz gehört. Sie ist nicht absolut einzusetzen, sondern vorher durch die Amplitude an der Stelle x_E des gedachten, generalisierten Einmassenschwingers zu dividieren. D.h.: .
Damit wird die Schwingungsform dimensionslos, mit dem Wert an der Stelle x_E gleich 1.0. Die Herleitung gelingt über das Gleichsetzen von a) der kinetischen Energie des Gesamtsystems und b) der Schwingamplitude. Es gilt: . Dabei ist m die verteilte Masse und M je eine Einzelmasse.
Die generalisierte Steifigkeit ergibt sich zu: .
Dies setzt naturgemäß die Kenntnis der Eigenfrequenz voraus. Wenn diese nicht bekannt ist, muss die generalisierte Steifigkeit aus

bestimmt werden. An einer schwingenden Struktur verteilt angreifende Kräfte müssen ebenfalls zu generalisierten Kräften zusammengefasst werden. Es gilt:
.
An der Stelle xE wird zunächst gedanklich der generalisierte Einmassenschwinger positioniert. Die sich ergebenden Schwingamplituden des generalisierten Einmassenschwingers entsprechen dann den Amplituden der zugrunde gelegten Eigenform der tatsächlichen Konstruktion an dieser Stelle, die Verformung über das reale Bauwerk ist affin zur Eigenform phi_i.
Die Integrale erstrecken sich über das gesamte System. Die Anteile außerhalb der Integrale erfassen entsprechende Einzelwirkungen. Wenn die Werte der Eigenformen nicht analytisch, sondern zahlenmäßig vorliegen, werden zunächst die Produkte unter den Integralen an den Orten x gebildet und diese dann mit Hilfe numerischer Integrationsformeln, wie der Simpson- oder Trapezregel integriert, z.B. mit Excel-Tabellen o.ä.
Wie schon erwähnt, können bei einfachen Systemen mit überschaubaren Eigenschwingformen auch Näherungsannahmen für die Eigenform getroffen werden, wie z.B. die Form der Eigengewichtsbiegelinie.

Beispiel: Gespanntes Seil mit Einzelmasse Schwingendes straff gespanntes, massebelegtes Seil mit Gesamtlänge l, mit Einzelmasse in der Mitte.
Bedingt durch die mittige Einzelmasse wird das Seil eine etwa geradlinige Schwingungsform annehmen, d.h. die Eigenschwingform ist näherungsweise dreieckig. Die geringen Durchhangsanteile infolge der Seilmasse werden vernachlässigt. Da die Massenbelegung des Seils konstant ist, kann die verteilte Seilmasse in Gleichung für die generalisierte Masse vor das Integral gezogen werden: . Für die Erfassung der verteilten Masse muss also lediglich über das Quadrat der dreiecksförmige Eigenschwingform integriert werden. Hierfür nutzen wir die ∫M ×M ×dx Tabellen (Faktor Dreieck-Dreieck: 1/3). Es wird nur über die halbe Länge integriert, der Faktor 2 sorgt für Ausgleich:
.
Zur Erfassung der verteilten Masse muss also ein Drittel der gesamten Seilmasse (in kN s2/m oder Tonnen) in der Mitte platziert werden. Die dort schon vorhandene Einzelmasse wird dann einfach dazu addiert.
Für die Ermittlung der generalisierten Steifigkeit wird die Eigenfrequenz benötigt. Dies ergibt sich nach Gleichung (2.15), d.h. es gilt w = K /M . Die Ermittlung der Steifigkeit K erfolgt mit Hilfe einer statischen Berechnung. Dazu wird eine Einheitslast am Ort und in Richtung der zu ermittelten Systemsteifigkeit angesetzt und die Verformung bestimmt. Die Steifigkeit ergibt sich dann als Kehrwert der Verformung.
Die Berücksichtigung einer verteilten Masse kann, wie dargestellt, mit Hilfe des Konzepts des generalisierten Einmassenschwingers erfolgen. In Bild 2.12 sind für drei unterschiedliche Eigenschwingformen Faktoren für die anzusetzende Masse angeben. Die generalisierte Masse ergibt sich aus dem Produkt der gesamten verteilten Masse mit dem Reduktionsfaktor z, dieser hat nichts zu tun mit der bezogenen Dämpfung. Der Ort, an dem die Ersatzmasse wirkt, ist angegeben.

Die Tabelle zeigt, dass es lediglich auf den Verlauf der Schwingungsbiegelinie ankommt, ob es um ein Seil oder einen Biegestab geht, spielt keine Rolle. In allen Formeln für den generalisierte Einmassenschwinger kommen nur die Massen und die Schwingungsform phi vor. Ausnahme generalisierte Steifigkeit, wenn über das Integral gerechnet wird.
Die unterste Eigenfrequenz eines Kragarms mit gleichmäßig verteilter Masse kann also näherungsweise so bestimmt werden, dass im Modell anstelle der verteilten Masse, eine generalisierte Ersatzmasse Mgen =Mges / 4 an der Spitze angesetzt wird. Die Federsteifigkeit an dieser Stelle beträgt K=3×EJ / l^3, die Eigenfrequenz ergibt sich damit zudamit zu:
.

5. Nichtharmonische Schwingungen

5.1 Periodische Schwingungen

Bisher haben wir sog. harmonische Schwingungen betrachtet. Das sind solche, bei denen der Antwort-Zeitverlauf einer Sinus- oder Cosinus-Funktion (oder beiden) folgt, (vgl nächstes Bild, oberer Teil). Solche Schwingungen treten auf, wenn auch die Erregung harmonisch ist, z.B. bei Unwuchtproblemen etc.

Vielfach werden Schwingungen beobachtet, die zwar nicht harmonisch sind, die sich jedoch nach einem Zeitintervall, der sog. Periode, vollständig wiederholen, vgl. obiges Bild unterer Teil. Beispiele für derartige Schwingungen sind z.B. Schwingungen von Glockentürmen bedingt durch die pendelnde Masse der Glocke, Anregungen aus rhythmischem Marschieren etc. Die vorher dargestellten harmonischen Schwingungen stellen einen (wichtigen) Sonderfall der periodischen Schwingungen dar.
Durch eine Zerlegung der periodischen Schwingung in ihre harmonischen Bestandteile mit Hilfe der sog. Fourier-Analyse, lassen sich periodische Schwingungen durch eine Summe harmonischer Schwingungen mit unterschiedlicher Frequenz und Amplitude darstellen. Für jede so bestimmte Harmonische (gelegentlich - in Anlehnung an die Akustik - auch Oberton genannt) wird eine dynamische Untersuchung nach den o.a. Verfahren durchgeführt. Das Ergebnis der mehrfachen dynamischen Wirkung wird dann phasenrichtig addiert. Das wird am einfachen mit der folgenden Formel vorgenommen:

Die periodische Schwingung wird hiermit also auf die bereits behandelten harmonischen Schwingungen zurückgeführt. Für die zu zerlegende Ausgangsfunktion F(t) gilt dann ähnlich:

Die in der Summenformel auftretenden Koeffizienten der trigonometrischen Funktionen steuern die Amplitude der jeweiligen Harmonischen k. Sie werden auch Fourier-Koeffizienten genannt. Sie werden wie folgt bestimmt:

Die Fourierkoeffizienten messen die Größe der Übereinstimmung mit der jeweiligen harmonischen Funktion. Wenn F(t) der harmonischen Funktion sehr ähnlich ist, wird das Produkt und damit das Integral groß. Wenn aber z.B. eine sin-Funktion über eine Periode eine konstante Funktion bewerten soll, wird Null herauskommen, da der negative Zweig der Sinus-Funktion mal der konstanten Funktion den gleichen Wert ergibt, wie der positive Zweig mal der konstanten Funktion. Die Gesamtfläche und damit das Intergral wird zu Null. Anders formuliert: Eine Sinus-Funktion ist zum Modellieren einer konstanten Funktion ungeeignet. Ebenso werden im Beispiel Hammerwerk (nächstes Bild) die Fourierkoeffizienten A_k - die als Amplituden der Sinus-Funktion stehen - allesamt zu Null, da die Lastfunktion eine bezüglich des Ursprungs eine gerade Funktion ist, d.h. sie ist an der Ordinate gespiegelt. Eine Beschreibung durch ungerade Funktionen, wie dem Sinus wird deshalb nicht gelingen. Jeder Sinus-Anteil würde z.B. dem am Ursprung befindlichen, halbsymmetrsichen Rechteckblock links vom Nullpunkt etwas abziehen, rechts davon etwas addieren. Das kann bei einer geraden Funktion nicht sein, ergo werden die Sinuskoeffizienten allesamt Null. Im folgenden Bild ist das Prinzip dargestellt. Ein Folge von Rechteckimpulsen wird z.B. durch ein Hammerwerk erzeugt. Man erkennt neben der anzunähernden Funktion oben, die ersten 4 Harmonischen, mit geeigneten Amplituden - die den Fourier-Koeffizienten entsprechen. Zusammenaddiert ergibt sich die so angenäherte Funktion. Je mehr Reihenglieder mitgenommen werden, desto genauer wird die Rechteckfunktion angenähert. Eine exakte Annäherung wird erst nach unendlich vielen Reihengliedern erzielt. Ingenieurmäßig wird man es bei einer endlichen Zahl von Reihengliedern belassen, wenn einem die Annäherung hinreichend erscheint. Dies Entscheidung ist problemabhängig.

A_0 ist der Mittelwert der periodischen Funktion, er entspricht einer rein statischen Wirkung und interessiert deshalb hier nicht weiter. Die Fourier-Koeffizienten werden für alle n Frequenzen ausgewertet. k ist der Index der jeweiligen Harmonischen. Die Summation unendlich vieler Reihenglieder ergibt die gewünschte Funktion. In der Praxis wird die Entwicklung abgebrochen, wenn die Funktion genügend genau angenähert ist. Das "genügend genau" muss problemabhängig bewertet werden.Wegen der einfachen Funktion f(t) wird hier die Integration einfach. Die konstante Funktion mit Maximalwert 200 wird immer vor das Integral gezogen. Die Periodendauer, kurz die Periode, ist T=10s. Da die Integration von t=0 bis t=2,5 und von t=7,5 bis t=10 gleich sind, wird nur ein Block berechnet. Die Integration selbst, die ja bei bestimmten Integralen die Fläche unter der Funktion innerhalb der Integrationsgrenzen bestimmt, wird bei der Bestimmung des A_0 Gliedes einfach duch die Flächenberechnung ersetzt. Bei der Bestimmung der Koeffizienten der cos-Funktionen wird die Größe omega im Argument des cosinus durch 2pi/T ersetzt, vgl. dazu die Ausführungen vorn im Kapitel 3.1 Freie Schwingungen. Die Berechnung der Koeffizienten ist neben dem Zerlegungs-Bild beispielhaft für A_0 und A_1 durchgeführt.

Periodische Schwingungen können also durch eine solche Fourier-Zerlegung der periodischen Funktion auf eine Summe Harmonischer Schwingung zurückgeführt werden. Diese werden für jede Harmonische einzeln, nach den oiben angegebenen Verfahren gelöst. Anschließend wird dann die phasenrichtig, durch Anwendung der Summenformel, addiert: .

Die einzelnen Fourieramplituden der Belastung werden meistens in einem sog. Last-Amplitudenspektrum gemeinsam dargestellt. Ein Amplkitudenspektrum beschreibt in kurzer Form die Schwingung. Die Frequenzen der einzelnen Harmonischen sind auf der Abszisse aufgetragen, die Amplituden auf der Ordinate. Damit sind alle Bestimmungsstücke gegeben.

Das System wird für jede Frequenz k für eine Einheitserregung F=1 berechnet, es ergibt sich die sog. Systemübertragungsfunktion

Die Produkte des Last-Amplitudenspektrums und der Übertragungsfunktion ergeben das Antwort-Amplitudenspektrum. Die Amplituden werden mit den zugehörigen sin- cos-Funktionen multipliziert und die entstehenden Funktionen addiert.

Eine Auftragung der sich für jede Frequenz ergebenden Beträge der Fourierkoeffizienten die die Amplituden der einzelnen harmonischen Teilschwingungen darstellen ergibt das sog. Amplituden-spektrum. Das folgrende Bild zeigt das Amplitudenspektrum der Hammerwerksfunktion:

Die Summenbildung in der o.a. Gleichung kann auch im Frequenzbereich interpretiert werde. Hierzu muss zunächst die sog. Übertragungsfunktion des dynamischen Systems ermittelt werden. Dies lässt sich leicht mit Hilfe der o.a. Formeln durchführen, wenn als Erregung eine harmonische Erregung (sin-Funktion) mit steigender Frequenz k⋅ω (k=1,2,3,…) und der Amplitude „1“ zugrunde gelegt wird. Wenn die Lastamplituden, die die Auswirkung der realen Last erfassen mit den System-Übertragungsfunktionen, die unter der Last "1" ermittelt wurden, entssteht als Antwort die Systemantwort unter dieser Frequenz und der realen Last. Das Ergebnis der Multiplikation wird als Antwortspektrums linie darunter dargestellt. Der Verfasser ermittelt die System-Übertragungsfunktion über einen weiten Frequenzbereich, so dass hier eine Funktion und keine einzelnen KInien entstehen. Das folgende Bild zeigt die Vorgehenbsweise :

Man erkennt deutlich die Lage der Resonanzfrequenz, bei Multiplikation mit einer Lastamplitude in Resonanzfrequenz entstünden unter der Einheitslast große Antworten . Beim gezeigten Beispiel liegt (günstigerweise) keine der Linien des Lastspektrums im Bereich der System-Resonanzspitze. Da die Berechnung in Abhängigkeit von der Frequenz durchgeführt wurde, spricht man von einer Berechnung im Frequenzbereich. Um eine Antwort im Frequenzbereich zu berechnen, ist jedoch nicht nur Amplitudenspektrum, sondern auch das Phasenspektrum der Erregung notwendig. Die Übertragungsfunktion ist deshalb komplex, zu Details wird auf das Fachschrifttum verwiesen [1], [2], [3], [4], [9], [11]
.

5.2 Nichtperiodische Anregung

Nichtperiodische oder transiente (von lat. trans ire: vorübergehen) Schwingungen treten einmalig auf. Beispiele sind z.B. Anpralllasten, Explosionen, einmalige Hammerschläge etc. Zur Berechnung werden Verfahren im sog. Frequenzbereich oder im sog. Zeitbereich eingesetzt. Bei den Frequenzbereichsverfahren, wird der im Grunde einmalige Kraft-Zeit-Prozess als im Unendlichen periodisch wiederholter Prozess angesehen. Damit wird er auf die periodische Bewegung zurückgeführt. Wegen des Übergangs auf die unendliche Periode werden aus den Summen in Gleichung (2.66) Integrale, die Fourierkoeffizienten werden zu Funktionen. Die o.a. dargestellte Fourier-Analyse wird zur sog. Fourier-Transfomation.
Näherungsweise kann man auch nichtperiodische Scgwingungen als periodische betrachten. Hierzu muss man die Periode des gedanklich wiederholten Signals so groß wählen, dass die Antworten unter dem transienten Stoß abgeklungen sind, bis der nächste periodische Stoß kommt.

Bei der Berechnung im Zeitbereich wird die Schwingungsdifferentialgleichung (2.5) schrittweise nu-merisch integriert. Dies sind klassische Aufgaben der eingangs vorausgesetzten Schwingungs-Computerprogramme, mit denen in der Regel, neben der Ermittlung der Eigenfrequenzen und Eigen-formen, die dynamische Antwort auf beliebige Erregungen bestimmt werden kann.

5.3 Fußpunktanregung

Bisher wurde der Fall einer harmonischen Erregerkraft behandelt. Gelegentlich werden Tragwerke aber auch durch eine Erregung des Fußpunktes zu Schwingungen angeregt, wie z.B. beim Lastfall Erdbeben oder bei der Erschütterungsausbreitung.

Auch dieser Fall kann einfach mit Hilfe der angegebenen Verfahren behandelt werden, wenn bei der Herleitung davon ausgegangen wird, dass die Massenträgheitskraft von der Gesamtverschiebung, die Federkraft dagegen von der Relativverschiebung zwischen Masse und Fußpunkt abhängt, siehe Abbildung 2.28. Die Bewegungsgleichung lautet dann:

Umgestellt nach Bekannten (die Fußpunktbeschleunigung ü:a ist gegeben) und Unbekannten (u und seine Ableitungen) ergibt sich:

Die Fußpunkterregung kann also wie eine Krafterregung behandelt werden, wenn der Beschleuni-gungsverlauf am Fuß bekannt ist. Die Verschiebung einschließlich aller Ableitungen sind hierbei relativ zum verschobenen Fußpunkt gemessen.