Harmonische und periodische Anregungen

Maschinenerregung

1.1 Maschinen mit rotierenden Massen

1.1.1 Allgemeines

Maschinen bei denen rotierende Massen dynamische Einwirkungen erzeugen können z.B. sein:

  • Ventilatoren
  • Zentrifugen
  • Waschmaschinen
  • Drehmaschinen
  • Zentrifugalpumpen
  • Rotationspressen
  • Turbinen und Generatoren

Maschinen mit rotierenden Teilen, wie Generatoren, Gebläse, Zentrifugen etc., verursachen dynamische Belastungen, durch Unwucht der rotierenden Teile. Die hierdurch hervorgerufenen Schwingungen können unzulässig große Werte annehmen, oder zu Ermüdungsschäden am unterstützenden Bauwerk oder an der Maschine selbst führen. Wenn größere Schwinggeschwindigkeiten oder Beschleunigungen auftreten, kann es zu Beeinträchtigungen des menschlichen Wohlbefindens kommen.
Im Regelfall werden Maschinen ausgewuchtet, so dass die Erregerkräfte und damit auch die Schwingungen klein sind. Über die Größe der zulässigen Unwucht siehe VDI-Ri. 2060, "Beurteilungsmaßstäbe für den Auswuchtzustand rotierender starrer Körper". Häufig sind auch Störfall-Unwuchten zu berücksichtigen, z.B. der Bruch einer Turbinenschaufel. Daneben gibt es Maschinen, die planmäßig stark unwuchtig sind, wie z.B. Vibratoren. Im Folgenden wird zunächst auf die Belastungen eingegangen.
Die Art der Kraft-Zeitfunktion ist abhängig von der Art der Maschine. Bei bewegten Maschinenmassen ist der zeitliche Verlauf der Erregerkräfte periodisch, wenn die Erregung aus umlaufenden, unwuchtigen Maschinenteilen herrührt, sogar harmonisch. Unwuchten treten stets dann auf, wenn der Massenschwerpunkt nicht mit der Rotationsachse übereinstimmt.

Bei umlaufenden Massen ergibt sich die Kraftwirkung zu:
.
Hierin ist m die Masse des rotierenden Teils und e oder r die Exzentrizität der rotierenden Masse. Eine solche Anregung, bei der die Kraft quadratisch mit der Frequenz zunimmt, wird als quadratische Anregung bezeichnet. Die entsprechenden Werte werden i. allg. vom Maschinenhersteller angegeben. Die Kraft wirkt radial umlaufend. Sie kann durch zwei harmonische Komponenten ersetzt werden: .
Beide Komponenten dürfen i. Allg. als getrennte Lastfälle betrachtet werden. Die maximale Amplitude bei gemeinsamer Wirkung ergibt sich dann aus der geometrischen Summe der Einzelantworten:
.

1.1.2 Beispiel: Unwuchterreger auf einem Deckenträger**

In der folgenden Abbildung ist ein Beispiel einer Decke mit einem Unwuchterreger dargestellt. Die Decke wird in Feldmitte durch einen Querträger elastisch gestützt. Das Tragwerk wurde durch einen generalisierten Einmassenschwinger abgebildet.
.
Im Folgenden wird der Zeitverlauf der Erregung und die Schwingungsantwort dargestellt:


Kraft-Zeit-Verlauf Verschiebungs-Zeit-Verlauf

Im Bild oben links ist zu erkennen, dass die Umdrehungsgeschwindigkeit erst nach ca. 60 Sekunden nach dem Einschalten der Maschine erreicht wird, die Erregerkraft nimmt quadratisch mit der Zeit zu, vgl. o.a. Gleichungen. Zunächst ist die Tragwerksreaktion sehr gering, es wird sozusagen quasistatisch belastet. Beim Annähern an die Resonanzfrequenz wachsen die Amplituden stark an. Zu einem Zeitpunkt ca. 40 Sekunden nach dem Einschalten der Maschine ist die Rotationsfrequenz gleich der Eigenfrequenz des Tragwerks. Hier werden Amplituden erreicht, die mehr als des 10-fache der stationären Antwortamplitude betragen. Das numerische Beispiel wurde mit dem Programm StTools (https://www.stwind.stahlbau.tu-braunschweig.de) des Instituts für Stahlbau der TU-BS berechnet.

1.2 Maschinen mit translatorischen Massen

1.2.1 Allgemeines

Hierzu gehören z.B.:

  • Webmaschinen
  • Kolbenmaschinen (Hubkolbenpumpen, Hubkolbenverdichter)
  • Flachdruckmaschinen
  • Gattersägen
  • Siebmaschinen
  • Brecher

Periodische, aber nichtharmonische Kräfte, die z.B. durch Kolbenmaschinen, Webstühle, Glocken etc. erzeugt werden, können stets durch Fourierzerlegung in ihre einzelnen harmonischen Bestandteile zerlegt werden (vgl. Grundlagen). Die aus den einzelnen harmonischen Anteilen entstehenden Schwingungsantworten werden getrennt ermittelt und anschließend gemäß Gleichung (2.66) zusammengesetzt.
Die Schwingungen von Glocken gehören z.B. in diese Kategorie. Bei schwingungsempfindlichen Glockentürmen können durch die schwingenden Glockenmassen erhebliche Struktur-Schwingungen ausgelöst werden.

1.2.2 Beispiel 1: Glockenerregung

Die Berechnung von Glockentürmen ist in der DIN 4178 geregelt. Dort ist ein Modell zur Beschreibung der Lasten zu finden, die während des Läutens von der Glocke auf das Joch abgegeben werden. Die Bewegung der Glocke kann als Pendel aufgefasst werden, da die Auslenkungen der Glocken, der sog. Läutewinkel, sehr groß sein kann, ist eine Linearisierung der Bewegungsgleichung nicht mehr zulässig. Die Schwingungsdifferentialgleichung für die freie Glockenschwingung lautet:
.

Die Bezeichungen nach DIN 4178 sind in der folgenden Skizze gegeben:
.

Die von der Glocke auf den Glockenstuhl einwirkenden Kräfte werden in der DIN 4178 durch eine Fourier-Reihe approximiert. Die Funktion zur Beschreibung der zeitabhängigen Horizontal- und Vertikalkraft lauten:
.

In der foilgenden Abbildung ist oben der Zeitverlauf der Glockenkräfte in horizontaler Richtung (rot) sowie in vertikaler Richtung (blau) dargestellt. Das untere Teilbild zeigt das zugehörige Amplitudenspektrum mit den beteiligten harmonischen Komponenten.

Der weietere Lösungsweg ist dann einfach:

  1. Ermittlung der Tragwerksamplituden unter den Erregungsfrequenzen und Erregungsamplituden, die im Amplitudenspektrum ausgewiesen sind. Hierzu kann das im Abschnitt Grundlagen angegebene Verfahren genutzt werden. Der Vergrößerungsfaktor zur rein statischen Belastung ergibt sich zu:
    .
    Hierin ist Groß_Omega die Erregerfrequenz der jeweiligen Glockenschwingungsharmonischen (siehe Abszisse des Amplitudenspektrums), klein_omega ist die Eigenfrequenz der Struktur, also z.B. des Glockenturms.
  2. Es ergeben sich die Amplituden der Systemantwort. Sie könnten z.B. wieder in einem Amplitufdenspektrum dargestellt werden. Die Amplituden müssen jetzt
  3. nach der Formel: phasenrichtig überlagert werden.

    1.2.3 Beispiel 2: Rüttelsieb auf Stahlbühne

    Durch ein Rüttelsieb für Kunststoffgranulat wurden in einem Chemiewerk starke Bühnenschwingungen hervorgerufen. Vom Hersteller des Rüttelsiebens werden in vertikaler Richtung, die hier ausschließlich Gegenstand der Untersuchungen ist, zwei Erregerfrequenzen genannt: f_1=4.33 Hz und f_2=8.66 Hz.
    .
    Die Amplituden der Kräfte sind laut Hersteller an den vier Eckpunkten der Maschine gleich groß und betragen 0.8 kN bzw. 1.1 kN. Die Stahlbühne ist in der folgenden Abbiuldung in Draufsicht dargestellt. Um zu prüfen, ob Resonanz vorliegt, wurde zunächst die Decke einschließlich des Siebes mit unterschiedlichen Annahmen bezüglich der Verbindungssteifigkeiten untersucht: zum einen wurde eine gelenkige Verbindung der Nebenträger untersucht, zum anderen eine biegesteife Verbindung. Das Rüttelsieb gibt die Kräfte an den vier Punkten der großen Mittelöffnung (schraffiert) ab. Das Sieb wurde dort mit seinen anteiligen Massen berücksichtigt:
    .

Die untere Eigenfrequenz liegt bei f1=4,3 Hz, die zweite Eigenfrequenz beträgt f2=8,2 Hz. Die zur unteren Eigenfrequenz gehörende Eigenschwingungsform ist eine horizontale Schwingung in der Deckenebene, sie liegt relativ weit von der Erregerfrequenz entfernt. Die zweite Erregerfrequenz der Siebmaschine liegt dagegen mit 8.66 Hz sehr nahe an der zweiten berechneten Eigenfrequenz von f2=8,2 Hz und führt somit zu einer deutlichen dynamischen Überhöhung. Die folgende Abbildung zeigt die Auslenkungsform für den Fall, dass die harmonische Erregung genau mit der zweiten Eigenfrequenz erfolgt.

Die Berechnungen machen deutlich, dass insbesondere die zweite Erregerfrequenz der Siebmaschine große Schwingungsamplituden der Bühne verursachen kann. Die größten Werte treten im Bereich des Knotenpunktes 12 auf, was mit subjektiven Wahrnehmungen bei Aufenthalt auf der Bühne während des Betriebs übereinstimmt. Die durch die erste Erregerfrequenz fe=4,33Hz induzierte Schwingungen sind hierbei von untergeordneter Bedeutung.

Eine Sanierung bietet sich also an, durch gezielte Verstimmung der zweiten Eigenfrequenz der Bühne. Betrachtet man die Verformungsfiguren in Abbildung 4.7 so fällt eine Möglichkeit sofort ins Auge. Die beiden Querunterstützungen der Maschine sind relativ weich. Eine Verstärkung der Träger in von Knoten 10 bis 14 und 15 bis 29 durch eine Unterspannung hebt die Eigenfrequenzen auf f1=10,4 Hz und f2=13,1 Hz. Beide Frequenzen liegen nunmehr oberhalb der Erregung. Allerdings besteht die Gefahr, dass durch geringe Steifigkeitsreduktionen nunmehr die erste Eigenfrequenz in den Bereich der zweiten Erregerfrequenz fällt und wiederum große Resonanzamplituden hervorruft. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, durch einen zusätzlich unterhalb angeklemmten Träger die Achse vom Knoten 3 zum Knoten 32 zu verstärken. Die hierzu gehörenden Eigenfrequenzen betragen f1=7,5 Hz und f2=11,6 Hz. Die untere Eigenfrequenz liegt immer noch bedrohlich in der Nähe der zweiten Erregerfrequenz von 8,33 Hz. Im Folgenden wird nunmehr der Träger nicht mehr vom Knoten 3 zum Knoten 32 geführt, sondern nur bis zum Knoten 22. Die untere Eigenfrequenz beträgt nunmehr f1=6,3 Hz, die zweite Eigenfrequenz steigt auf 11,3 Hz an. Beide Frequenzen liegen ausreichend weit von den Erregerfrequenzen entfernt. Diese Lösung wird ausgeführt. Man erkennt an diesem Praxisbeispiel, dass in der Dynamik eine Verstärkung keineswegs immer die Lösung des Problems darstellt, wie in der Statik üblich. Eine Verstärkung kann sich, wegen der damit einhergehenden Verstimmung, durchaus negativ auswirken.
Eine weitere Möglichkeit, besteht in der Anbringung eines Elementes zur Erhöhung der Dämpfung, vgl. . Bei Resonanzerregung ist Dämpfung immer eine Maßnahme, die funktioniert. Siehe dazu Abschnitt Schwingungsbeherrschung. Im vorliegenden Fall wurde die horizontale Anregung der Siebe mit einem erweiterten Modell simuliert, um genauere Werte für die dynamischen Kräfte zu erhalten.

Im folgenden ist eine Simulation des Verhaltens einschließlich der Bewegung der beiden horizontal verschieblichen Siebschübe dargestellt:
Rüttelsieb.m4v

1.3 Maschinen mit stoßenden Massen

Hierzu können z.B. gehören:

  • Formpressen
  • Stanzmaschinen
  • Maschinenhämmer
  • Schmiedepressen

Die dynamische Belastung wird in Form eines Kraftstoßes ausgeübt. Z.B. durch herabfallende Massen oder durch hydraulische Pressen.
Im Regelfall werden bei solchen Maschinen die Kraftwirkungen periodisch erfolgen. Dann kann, wie im Abschnitt Grundlagen beschrieben, die periodisceh Belastung in ihre harmonischen Anteile zerlegt werden. Im Abschnitt Grundlagen wurde hierfür der Kraft-Zeitverlauf eines Hammerwereks verwendet. Das zugehöriuge Bild, das die Zerlegung zeigt, wird hier noch einmal gezeigt:

Für jede Harmonische wird dann die dynamische Reaktion - durch Ermittlung der Vergrößerungsfunktion - bestimmt.
Die Einzellösungen werden dann phasenrichtig überlagert: