Erdbeben

Inhalt:

1.1 Allgemeines

Wenn der Zeitverlauf der Bodenbeschleunigungen bekannt ist, kann mit Hilfe einer Zeitverlaufsberechnung die zugehörige Antwort des Tragwerks auf diese Bodenbeschleunigungen bestimmt werden, siehe Schlusskapitel 5.3 in Grundlagen. Da der genaue Verlauf der (zukünftigen) Bodenbeschleunigungen am Bauwerksort naturgemäß nicht bekannt ist, behilft man sich so, dass für die gegebene Untergrundsituation eine Anzahl typischer Verläufe vorgegeben wird. Das Tragwerk wird der Reihe nach mit allen vorgegebenen Beschleunigungsverläufen berechnet. Bemessen wird nach dem Maximalwert der betrachteten Antwortgröße aller Antwort-Zeitverläufe (Antwortspektrenverfahren). Zur Bestimmung eines Antwortspektrums wird ein Einmassenschwinger mit definierter Masse, Steifigkeit und Dämpfung (und damit definierter Eigenfrequenz) einem vorgegebenen Fußbeschleunigungsverlauf unterworfen. Die zeitliche Antwort wird z.B. mit Hilfe eines Zeitschritt-Verfahrens ermittelt und der jeweilige Maximalwert der Antwort aus dem Antwort-Zeitverlauf abgegriffen. Durch Variation der Systemwerte des Einmassenschwingers ergeben sich (bei stets derselben Erregung) unterschiedliche maximale Antworten. Alle maximalen Antworten werden in einem sog. Antwortspektrum über der Schwingzeit T aufgetragen (Folgebild). Man beachte, dass die Information, zu welchem Zeitpunkt der Maximalwert aufgetreten ist, im Antwortspektrum verloren gegangen ist.

Die Berechnung wird bei Mehrmassensystemen in der Regel mit Hilfe der FE-Methode durchgeführt. Üblicherweise wird hierbei nicht mit den absoluten Verschiebungen gearbeitet, sondern mit den relativen Verschiebungen des Tragwerkes gegenüber den Bodenverschiebungen, vgl. Abschn. 2.10. Das Antwortspektrum hängt naturgemäß stark von den Zufälligkeiten des zugrunde gelegten Be-schleunigungsverlaufs ab und weist deshalb einen sehr rauhen Verlauf mit vielen Spitzen und Tälern auf. Durch Berechnung mit unterschiedlichen Beschleunigungsverläufen und Mittelung und Glättung erhält man glatte Entwurfsantwortspektren, wie in Abbildung 4.41 angegeben. Die Antwortspektren sind abhängig von der angesetzten Tragwerksdämpfung, diese ist deshalb mög-lichst zutreffend zu bestimmen. Teilt man die Ordinaten des Antwortspektrums durch einen fest vor-gegebenen Maximalwert, so erhält man ein normiertes Bemessungsspektrum. Wenn dieses noch weiter vereinfacht wird, erhält man das Antwortspektrum der DIN 4149, welches so auch im Nationalen Anhang des EC8 zu finden ist. Dieses ist in Bild 4.7 dargestellt. .

Die Antworten infolge einer Erdbebeneinwirkung werden durch nichtlineare Einflüsse, z.B. durch Plastizieren stark reduziert. Um nichtlineare Berechnungen bei der Ermittlung des Antwortspektrums zu vermeiden, kann nach DIN 4149 das Antwortspektrum durch Division mit sog. Verhaltensfaktoren reduziert werden. Dies ist jedoch nur erlaubt, wenn auch ausreichende Verformungsmöglichkeiten bestehen. Auf weitere Einzelheiten kann hier nicht eingegangen werden, es wird auf das einschlägige Fachschrifttum verwiesen. Wenn die Berücksichtigung nur der Grundschwingung auf der Basis des generalisierten Einmassen-schwingers nicht mehr ausreicht, kann z.B. eine Berechnung nach dem Konzept der modalen Analyse durchgeführt werden. Hierbei werden die Antworten von n generalisierten Einmassenschwingern getrennt ermittelt und anschließend addiert. Wenn die maximalen Antworten der Ein¬massen-schwinger mit Hilfe des o.a. Antwortspektrums ermittelt werden, lassen sich die Antworten nicht mehr einfach addieren, da sie zu unterschiedlichen Zeitpunkten auftreten und die Zeitinformation bei der Aufstellung der Antwortspektren verloren gegangen ist. Wenn die Eigenfrequenzen gut ge-trennt sind, wird die Gesamtantwort i. Allg. mit Hilfe einer geometrischen Addition ermittelt, dies lässt sich auch nach der Zufallstheorie begründen: .

Bei eng benachbarten Eigenfrequenzen können die Antworten zeitgleich, d.h. in Phase auftreten. Die Antworten dieser Einmassenschwinger werden dann i. Allg. auf sicherer Seite absolut addiert.

1.2 Einführungsbeispiel: Gebäude unter Erdbebeneinwirkung

Für eine Feuerwehr ist der Neubau eines Feuerwehrgerätehauses geplant. Das Gebäude besitzt Schulungs-, Büro und Mannschaftsräume im Obergeschoss sowie Stellplätze für Einsatzfahrzeuge im Erdgeschoss. Das Tragwerk besteht aus eingespannten Stahlbetonstützen aus C30/37, auf die Fertigteilbinder aus Spannbeton aufgelegt werden. Das Dach ist mit 2,5° flach geneigt In der Abbildung 4.43 ist der Querschnitt des Gebäudes skizzenhaft dargestellt. Die Dämpfung kann mit 5% angenommen werden.

Der Abstand der Stützen in Bauwerkslängsrichtung beträgt 6m. Für das Bauwerk sollen die Einwirkungen aus Erdbeben nach DIN EN 1998-1 bestimmt werden, wobei in diesem Beispiel nur die horizontalen Eiwirkungen in Querrichtung des Gebäudes berücksichtigt werden. Der Baugrund besteht aus einer dichtgelagerten Kiesschicht.

1.2.1 Modellbildung

Da die mittlere Stütze nicht vom Fundament bis zum Dach durchläuft, ist der Aufriss als unregelmäßig einzuordnen. Der Grundriss jedoch sei regelmäßig, so dass nach DIN EN 1998-1 ein ebenes Modell für jede Hauptrichtung (Längs und Quer) ausreichend ist. Allerdings ist eine Berechnung als Einmassenschwinger nicht mehr möglich, da die Massen nur in den Deckenscheiben zusammengefasst werden dürfen. Das dynamische Tragverhalten für die horizontalen Erdbebeneinwirkungen wird deshalb durch das in der oberen Abbildung, rechts dargestellte System eines 2-Massen-Schwingers beschrieben. Es darf zwar nach EC8 eine vereinfachte linear-elastische Berechnung durchgeführt werden, jedoch ist die Antwort beider Eigenformen des Tragwerks auf das Erdbeben zu berücksichtigen. Der Steifigkeitsabfall durch Rissbildung darf vereinfachend durch eine Abminderung der elastischen Steifigkeiten auf die Hälfte berücksichtigt werden. Eine Variation des statischen E-Moduls ist nicht vorgesehen. Es wird angesetzt:

Wegen der günstigen Wirkung der Normalkräfte auf die Biegesteifigkeit wird für die Stützen des EG der dreifache Wert der Biegesteifigkeit und für die Stützen des OGs der doppelte Wert angesetzt.

Bauteil Masse [to/m]
Dachbinder einschl. Abdichtung und Ausbau: 1,3
EG-Decke einschl. Ausbau: 1,9
Stützen: 2,5 t/m^3 x 0,40m x 0,40m 0,4

Zusätzlich müssen ggf. Massen aus veränderliche Lasten, also z.B. Verkehrs- und Schneelasten berücksichtigt werden. Diese sind gemäß DIN EN 1998-1 unter Berücksichtigung spezieller Kombinationsbeiwerten für Erdbeben anzusetzen: .
mit dem Kombinationsbeiwert Ψ2,i nach DIN EN 1990 ergibt sich:

Für die Deckenscheibe im 1. OG ergibt sich die Stockwerksmasse nach der folgenden Tabelle:

Bauteil Masse [to]
Stützen außen 2 x 0,40t x (5,0m/2 + 3,0m/2) 3,2
Stützen innen 1 x 0,4t/m x (5,0m/2) 1,0
EG-Decke 1,9 t/m x 24m 45,6
Verkehr 0,126t/m^2 x 24m x 6m 18,1
m1= 67,9

Die Stockwerksmassen für das 2. OG (Dach) sind in der nächsten Tabelle zusammengestellt. Hierbei muss auch die evtl. vorhandene Masse aus Schnee berücksichtigt werden. Die Regelschneelast von 85 kg/m² darf mit dem vorstehenden Kombinationsbeiwert 0,5 abgemindert werden: .

Bauteil Masse [to]
Stützen 2 x 0,40t x 3,0m/2 1,2
Dach 1,3t/m x 24m) 31,2
Schnee 0,034t/m^2 x 24m x 6m 4,9
m2= 37,3

1.2.2 Eigenfrequenzen

Die Eigenfrequenzen des 2-Massen-Schwingers nach Abbildung 4.43 mit einer Handrechnung zu bestimmen ist vergleichsweise aufwendig. Aus diesem Grund ist dieses Modell in den StTools verfügbar. Es ergeben sich die folgend dargestellten Eigenformen. Die Eigenfrequenzen ergeben sich zu: f1 = 0,53 Hz, f2 = 3,00 Hz .


1.2.3 Erdbebeneinwirkung

Die statische Ersatzkraft infolge Erdbeben wird für jede der beiden Eigenformen getrennt berechnet. Es werden also zunächst gedanklich zwei unabhängige Einmassenschwinger, einer mit der Frequenz 0,53 Hz und einer mit der Frequenz 3,0 Hz betrachtet. Die Gesamterdbebenersatzkraft ergibt sich mit der zur jeweiligen Eigenfrequenz gehörenden Ordinate des Antwortspektrums Sd:

Hierbei ist m die Gesamtmasse des Bauwerks oberhalb des Fundaments und T die Eigenperiode des Tragwerks in der betrachteten Schwingungsform. Es gilt bekanntlich, siehe Grundlagen: T = 1 /f. Der Korrekturbeiwert λ ist in diesem Fall 1,0.
Zunächst ist die Funktion des Antwortspektrums zu bestimmen. Das dieses die Schwingungsantwort eines Tragwerks auf ein Erdbeben am Bauwerksstandort repräsentiert, müssen hier alle Standortspezifischen Parameter des Erdbebens mit einfließen. Dies sind

  • Baugrund (Parameter TB, TC, TD) und Untergrund (Parameter S)
  • Erdbebenzone (Bodenbeschleunigung agR)

Ebenso müssen im Antwortspektrums Fähigkeiten des Bauwerks zur Energiedissipation enthalten sein. Dies sind

  • Bauwerksdämpfung (Korrekturbeiwert μ)
  • Möglichkeit zur Ausbildung von Fließgelenken (Verhaltensbeiwert q)

Die zulässige Schädigung eines Bauwerks durch ein Erdbeben wird mit einem Vergrößerungsfaktor (Bedeutungsbeiwert γI) auf Seite der Einwirkung berücksichtigt.
Im folgenden Bild ist das ANtwortspektrum nach EC 8 dargestellt:

Das Diagramm ist einer Präsentation entnommen, bei der durch Anklicken des roten Buttons unterschiedliche Verhaltensbeiwerte ausgewählt werden können. Die Kurve ändert sich jeweils entsprechend.

Detailkarten für die Erdbebenzonen und die Untergrundklasse sind unter www.dibt.de¬/de¬/Data¬/TB-/Zuordnung_der_Erdbebenzonen.xls erhältlich. Allerdings nur für wenige Bundesländer. Unter der Adresse http://www.gfz-potsdam.de gibt es eine Online Datenbank über die jedem Ort Erdbebenzonen und Untergrundklassen zugeordnet werden können. Unser Bauwerk befinde sich in der Erdbebenzone 3, hier ist eine horizontale Bodenbeschleunigung von Aufgrund der Nutzung als Feuerwache muss das Bauwerk auch im Erdbebenfall funktionstüchtig sein. Das Bauwerk ist deshalb nach DIN EN 1998-1 als Gebäude des Katstrophenschutzes in die Bedeutungskategorie IV einzuordnen. Der Bedeutungsbeiwert hierfür ist: .
Die Untergrundklasse am Bauwerksstandort kann aus einen Karte im Nationalen Anhang entnommen werden. Eine genauere Zuordnung mit der o.g. Homepage ergibt eine Untergrundklasse T. Der vor-handene Baugrund (sehr dichter Kies) gehört zur Baugrundklasse B. Hieraus ergeben sich die sog. Kontrollperioden des Bemessungsantwortspektrums:
Der Verhaltensbeiwert q berücksichtigt die Fähigkeit des Tragwerks Energie aufgrund horizontaler Erdbebeneinwirkung zu dissipieren. Der Verhaltensbeiwert für dieses Beispiel beträgt .
Hierin ist der Einfluss der Dämpfung bereits enthalten. Zur Bestimmung des Verhaltensbeiwertes sei auf EC8 verwiesen. Das mit diesen Parametern bestimmte Bemessungs-Antwortspektrum ist im o.a. Bild links dargestellt. Für die 1. Eigenform mit T1=1/f1=1,89 Sekunden ergibt sich:

und für die 2. Eigenform mit T2=1/f2=0,33 Sekunden
.

1.2.4 Erbebenkräfte

Da die unterschiedlichen Schwingungsformen nicht alle den gleichen Anteil an der Erdbebenbeanspruchung haben, sind die Erdbebenkräfte noch mit einem modalen Beteiligungsbeiwert zu wichten. Dieser lässt sich einfach aus der Eigenform in der o.a. Abbildung und den Stockwerksmassen berechnen. Allgemein ist der modalen Beteiligungsbeiwert wie folgt definiert:
.
Hierbei ist N die Anzahl der Stockwerke und mj die Stockwerksmasse. Für die jeweilige Eigenform ergibt sich
.
Für Hintergründe sei an dieser Stelle auf die Spezialliteratur verwiesen.
Die Gesamt-Erdbeben-Ersatzkraft gibt sich aus der Wichtung mit diesen Beteiligungsbeiwerten. Die Gesamtkraft ist dann proportional zur Stockwerksmasse auf die Stockwerke zu verteilen und mit den Ordinaten der Eigenform zu wichten. Es ergeben sich die statischen Ersatzlasten aus Erdbeben allgemein nach
.

Für die 1. Eigenform ergeben sich damit folgende Ersatzerdbebenkräfte für jedes Stockwerk:

Für die 2. Eigenform ergibt sich:
.


Die horizontalen Kräfte und die zugehörigen Biegemomente sind in der o.a. Skizze eingetragen.

1.2.5 Bemessungsschnittgrößen

Da ein gleichzeitiges Auftreten der maximalen Schnittgrößen aus den beiden Eigenformen sehr unwahrscheinlich ist, sofern die beiden Eigenfrequenzen weit genug auseinander liegen, dürfen die Beanspruchungen quadratisch addiert werden. Bedingung hierfür ist, dass:
.
Dies ist in diesem Beispiel der Fall, so dass das maximale Moment aus Erdbeben in Höhe des 1. Stockwerkes:
und in Höhe des Fundamentes:
beträgt.