Dämpfer mit Pendel

Da die technische Realisierung einer sich horizontal bewegenden Masse ziemlich aufwendig ist, wird bei horizontalen Schwingungen gern ein Pendel eingesetzt,. Das Pendel bezieht seine Federsteifigkeit su der Rücktriebskraft der ausgelenkte Masse. Bei kleinen Verformungen sin phi etwa gleich phi, handelt es sich sogar um eine lineare Feder!
Die Federsteifigkeit wird hierbei aus der Rücktriebskraft der Pendelmasse infolge der Erdanziehung gewonnen. Wenn keine Rotation der Zusatzmasse auftritt, gilt für die Eigenfrequenz die des mathematischen Pendels mit der Pendellänge lp:
.............(1)

Die FOrmel gilt nur für den Fall, dass die Rotations-Trägheit der bewegten Masse vernachlässigt werden kann. Man spricht dann vom sog. Mathematischen Pendel, also einem idealisierten Pendel, das in der physikalischen Wirklichkeit nicht ausgeführtr werden kann, da jede Masse eine gewisse Ausdehmumg hat. Die Annahme verschwindender Rotations-Massenträgheit kann deshalb auch nur näherungsweise getroffen werden, wenn die Ausdehnung der Masse klein ist. Bei größeren Massen wirkt die Rotations-Massenträgheit deutlich mit (Physikalisches Pendel) und muss berücksichtigt werden. Dies kann (ohne Ableitung) durch eine Korrektur der Pendellänge erfolgen. Man spricht von einer reduzierten Pendellänge, obwohl es sich i.d.R. eine Vergrößerung der Pendellänge handelt. Bessere wäre Ersatzpendellänge. Die zusätzliche Rotationsmassenträgheit vergrößert ja die Massenträgheit, damit sinkt die Frequenz (siehe Gl. 2), dies kann deshalb nur durch eine größere Pendellänge erfasst werden. Es gilt:
..................(2)

Der Index 0 bei J bedeutet, dass das Rotatiosns-Massenträgheitsmoment auf den Drehpunkt des Pendels bezogen ist. Für das Rotations-Massenträgsheitsmoment wird hier der Buchstabe J verwendet, im Gegensatz zum I für das Querschnittsflächenträgheitsmoment. Mit der so ermittelten Ersatzpendellänge l_red kann dann, wie beim Mathematischen Pendel gearbeitet werden. Bild 1 zeigt das zugrunde liegende System eines nicht mathematischen - also physikalischesnPendels - mit der Gesamtmasse m_ges und Schwerpunktsabstand e vom Drehpunkt.


Bild 1: Physikalisches Pendel mit Rotationsmassenträgheit

Das Rotationsmassenträgheitsmoment J_0 ergibt sich bekanntlich zu:
..................(3)
Die Formel entspricht also völlig dem bekannten Ansatz für das Querschnittsflächen-Trägheitsmoment I, mit dem Unterschied, dass dort nach einem Flächenelement dF integriert wird, hier dagegen nach einem Massenelement dm. Da aber die Masse nichts weiter ist als die Fläche mal Dichte mal Dicke der Fläche, ändern sich nur die Vorfaktoren. Es kann somit auch geschrieben werden:
..................(4)
Wenn der Schwerpunkt noch nicht bekannt ist, kann zunächst ein beliebiger Bezugspunkt gewählt werden, das sich so ergebende Massenträgheitsmoment muss dann noch um den Steiner-Anteil korrigiert werden. ganz so wie man es von der Berechnung von Flächen-Querschnittswerten her kennt:
..................(5)
Die Koordinaten mit dem Index S sind die Abstände von der beliebigen Bezugsachse zum Schwerpunkt.

Beispiele:

Quadratischen Querschnitt mit konstanter Dicke t (Bild 2)


Bild 2: Rechteckquerschnitt konstanter Dicke t

Daraus ergibt sich:
..................(6)
Tafeln zur Ermittlung der reduzierten Pendellänge sind in (Klotter, 1955) enthalten. In Petersen (1996) sind im Kap. 4.7 auch für Pendel mit Zusatzfedern Formeln abgeleitet!

Da Pendel oft eingesetzt werden, wenn Schwingungen in alle Richtungen auftreten können, wird hierfür meist eine zylindrische Masse an einem zylindrischen Stab verwendet, so dass in allen Richtungen die gleichen Bedingungen herrschen. Für diesen - praktisch häufig vorkommenden - Fall sollen noch die Formel für das Rotations-Massenträgheitsmoment angegeben werden, siehe dazu auch Petersen (1996), Abs. 4.7.4:

Da Pendel oft eingesetzt werden, wenn Schwingungen in alle Richtungen auftreten können, wird hierfür meist eine zylindrische Masse an einem zylindrischen Stab verwendet, so dass in allen Richtungen die gleichen Bedingungen herrschen. Für diesen - praktisch häufig vorkommenden - Fall sollen noch die Formel für das Rotations-Massenträgheitsmoment angegeben werden, siehe dazu auch Petersen (1996), Abs. 4.7.4:

Bild 3: Zylindrisches Pendel als Beispiel

Die Massen ergeben sich wie folgt:
................. (7)

Die Massenträgheitsmomente bezüglich ihrer bekannten Einzelteil-Schwerpunkte sind:
................ (8)

Bezogen auf den Aufhängepunkt ergibt sich incl. der Steiner Anteile:
. .................(9)

Damit ergibt sich die Lage des Gesamtschwerpunktes zu:
. .................(10)

Falls für Berechnungen mit einer federgekoppelten Masse die zugehörige Federsteifigkeit des Pendels benötigt wird, ergibt sich diese zu:
.............(11)

In einem Physikalischen Pendel treten Schnittkräfdte N,M,Q auf. Diese können einfach, unter Anwendung des Schnittprinzips ermittelt werde, wobei man zweckmäßig am freien Rand beginnt, denn dort sind alle SChnittkräfte gleich Null. Die Schnittkräfte sind wichtig für den Ermüdungsnachweis des Pendels!

Der Einfluss der Rotationsträgheit kann ausgeschaltet werden, indem eine Masse wie in Bild 4 dargestellt aufgehängt wird. Hierbei rotiert die Masse nicht mehr und die einfache Gl.(1) für das mathematische Pendel kann genutzt werden:

.
Bild 4: Pendeldämpfer ohne Rotationsträgheit

Der Verfasser hat auf diese Weise (mit der Parallelogrammkonstruktion) - bei Türmen in der Wüste - mit "Bordmitteln" Dämpfer unter der Kanzeln stark schwingender Beobachtungstürme ausgeführt, in dem eine Sandkiste an vier Seilen, mit zur Frequenz passender Länge l_P, unter dem Kabinenboden abgehängt und mit Sand gefüllt wurde (davon gab es ausreichend). Unter dem Kabinenboden wurde dann ein Stab als vertikaler Kragarm angebracht, der in den Sand der Kiste hineinragte. Die Kiste schwang dabei also um den "Rührstab" herum und nicht - wie üblich - umgekehrt. Die Eintauchtiefe wurde so angepasst, dass die Schwingungen verschwanden. Damit war die optimale Dämpfung zumindest näherungsweise erreicht.

Referenzen

Petersen, C.: Dynamik der Baukonstruktionen. FR. Vieweg & Sohn Verlag, Braunschweig, Wiesbaden, 1996.
Klotter, K.: Technische SchwingungslehreI. 2. Auflage, bBerlin, Göttingen, Heidelberg, Springer, 1960.
Peil,U.: Baudynamik. In Stahlbau-Handbuch 1A, Stahlbauverlagsgesellschaft, Köln, 1993.
Peil,U.: Baudynamik für die Praxis. In: Stahlbau-Kalender 2008, Hrgb. U. Kuhlmann, Ernst&Sohn, Berlin, 2008, p.390-476.
Den Hartog, J.P. (1952): Mechanische Schwingungen. Berlin, Göttingen, Heidelberg: Springer 1952.
Klotter,K. (1955):Schwingungen. In: Hütte, Des Ingenieurs Taschenbuch. Berlin: W. Ernst&Sohn.
Petersen,C. (2001): Schwingungsdämpfer im Ingenieurbau. Herausgeber: Firma Mauer und Söhne, GmbH und Co KG, München.
Pritchard, B.P.: The use of shock transmission units in bridging. Proc,. Instn. Civ. Engrs. Structs&Bldgs, 1996,116, p.82-95. Sauer,F.M., C.F.Garland (1949): Performance of the Viscously Damped Vibration Absorber to Systems having Frequency Squared Exitation. Journ. of Appl. Mech. 16,109-117
Wahle,M.(1984): Beitrag zur passiven Kontrolle schwach gedämpfter elastischer Strukturen mittels dynamischer Schwingungsdämpfer. Dissertation RWTH Aa-chen, 1984.