Rollende Kugel

1. Eigenfrequenz

Wenn die Kugel auf einer Kreisbahn läuft, besteht eine unmittelbare Analogie zum Pendeldämpfer, bei dem sich die Kugel ebenfalls auf einer Kreisbahn bewegt. Der wesentliche Unterschied ist der, dass die rollende Kugel ein beträchtliches Rotations-Trägheitsmoment aufweist, da sie sich mehrfach abrollen kann. Die Rotationsträgheit zehrt ein Teil der Kraftwirkungen auf. Beim Pendel ist der Pendelwinkel meist sehr gering, so dass die zu berücksichtigende Rotation klein bleibt. Beim Pendel mit Parallelogramm-Abhängung bleibt dieser Anteil komplett Null.
Sowohl das Pendel ohne Dämpfer als auch die reine Kugel sind im Grunde Tilger, da hier keine Energie dissipiert wird, sondern Gegenkräfte zur Strukturbewegung generiert werden. Die grundlegenden Bezeichnungen werden in Bild 1 erläutert.

Bild 1: Definitionen und Bezeichnungen

Die Gleichgewichtsbedingungen ergeben sich durch Zusammenfassung der äußeren Kräfte und der d'Alembertschen Trägheitskräfte:
.....................(1)
Mit den Geometriebedingungen
, ..................(2)

Durch Zudsammenfssung ergibt sich die Bewegungsdifferentialgleichung. Diese wird wie in den Grundlagen, Kap. 3.1. gelöst. Daraus ergibt sich wie in den Grundlagen Kap. 3.1. die Eigenfrequenz f:
................... (3)

Der Index K bezieht sich hier auf die Kugel. a ist in den Formeln die Beschleunigung (acceleration) des Kugelschwerpunktes, g die Erdbeschleunigung.
Man erkennt, dass ein großes Rotations-Trägheitsmoment die Eigenfrequenz absenkt. Bei konstant gehaltener Masse m_K steigt daas Rotations-Massenträgheitsmoment und sinkt entsprechend die Eigenfrequenz, wenn immer mehr Masse nach außen gebracht wird, Es sollen 3 Fälle betrachtet werden. Darin ist J_K das Rotations-Massenträgheitsmoment bezüglich des Kugel-Schwerpunktes, J_0 ist bezogen auf den oberen Drehpunkt 0. Die Eigenfrequenz f ist in Hertz angegeben [Hz]. In der letzten Spalte ist die Geometrie angegeben, die erforderlich sit, um eine vorgegebene Frequenz f zu erreichen.

Tabelle 1: Formeln für unterschiedliche Massenbelegung der Kugel

Man erkennt, dass die Rotationsmasse der Kugel die Eigenfrequenz senkt, wie es zu erwarten ist. Je größer der Anteil der Masse ganz außen ist, desto größer wird das Rotations-Massenträgheitsmoment. Vgl. dazu das bekannte Querschnittsflächen-Trägheitsmoment. Auch dies wird maximal, wenn die Fläche möglichst weit außen plaziert wird. Aus diesem Grunde ist die Hohlkugel der ungpünstigste Fall, da hier die gesamte Masse außen sitzt. Natürlich ist, wie im Fall der hohlen Kugel (b.) eine Masse der Schale bei einer Dicke t=0 unmöglich. Dies ist eine idealisierende Annahme, die die Berechnung etwas erleichtert.

2. Dämpfungswirkung

Die Dämpfungswirkung entsteht durch die phasenverschobene Gegenkraft, die durch die Kugen auf die Rollbahn abgesetzt wird: Schwingt das Bauwerk nach links, rollt die Kugel in Gegenphase nach rechts und übt dort Kräfte auf die Rollbahn aus, die der Bewegung entgegengesetzt sind. Dadurch wird die Bauwerksbewegung gedämpft.
Für die rückstellende Kraft der auf der Kreisbahn rollenden Kugel ergibt sich, bei Voraussetzung kleiner Verformungen:
. ................. (4).
Die Kräfte T und H ergeben sich aus den d'Alembertschen Gleichgewichtsbedingungen:
Mit
..................... (5)
und
................... (6)
ergibt sich dann:
......................(7)
und
. ............... (8)

Der reine Pendeldämpfer erzeugt eine Rückstellkraft der Größe:
................. (9).

Man erkennt, dass die Einflüsse aus dem Rotationsträgheit der rollenden Kugel auch die Rückstellkraft reduzieren, die Dämpfungswirkung also geringer wird, als beim vergleichbaren Pendel gleicher Masse und passender Pendellänge. Diese Schlechterstellung ist bedingt durch den Effekt der Rotationsträgheit, die dazu führt, dass die Kontaktkräfte der rollenden Kugel durch die Rotationsträgheit reduziert wird. Die Formeln (7) und (8) zeigen, dass durch das letzte Glied, bei dem J_0 im Nenner steht, die Kräfte abgemindert werden.
Im Folgenden werden die drei untersuchten Fälle a,b,c nach Tabelle 1 in ihrer Effizienz mit dem Pendeldämpfer verglichen:

Tabelle 2: Vergleich mit einfachem Pendel

Wenn der Kugeldämpfer die gleiche Dämpfungswirkung wie ein analoges Pendel haben soll, muss die Kugelmasse mit den Kehrwerten der Effizienzwerte aus Tabelle 2 vergrößert werden. Leider steigt hierdurch i.a. auch der Radius, so das ein Teil des Effektes aufgezehrt wird.

3. Vergleich mit Versuchen

In [1] wird über Versuche berichtet, die mit einem Kugeldämpfer durchgeführtr wurden., Dieser wurde dazu an der Spitze eines Kragarms montiert. Die Dämpfung wurde nach Anzupfen durch Messung der Amplitudenabnahme bestimmt, vgl. Grundlagen. In Bild 2 sind die Ergebnisse dargestellt. Achtung: Das Massenverhältnis (im Bild gamma, in den Dämpfergrundlagen mue, ist auf der Ordinate eingetragen!
Interessant ist auch, dass die Dämpfungswirkung steigt, wenn man mehrere Kugeln einsetzt (coupled motions), die in der Summe die gleiche Masse haben, wie die eine Vergleichskugel. Dies leuchtet auch unmittelbar eiin. Die einzelnen Kugeln haben dann naturgemäß einen geringeren Durchmesser. Wegen der quadratischen Abhängigkeit des Rotations-Massenträgheitsmomentes vom Radius wird die Gesamt Rotatiosnträghgeit geringer, die Effizienz des Dämpfers steigt also. Außerdem treten zusätzliche Reibungen und Impulsübertragung zwischen den Kugeln auf, was ebenfalls die Dämpfunsgwirkung verbessert. In Bild 2 sind die Ergebnisse dargestellt:


Bild 2: Logarithmisches Dekrement delta über dem Massenverhältnis mue, siehe hier

Bild 3 zeigt die Geometrie des Dämpfers. Man erkennt den relativ geringen Unterschied der Radien. Dieser liegt bei (410-300)=110mm=0,11 m. Daraus lässt sich die zugehörige Eigenfrequenz bestimmen. Tabelle 1 entnimmt man die Geometrie aus der 1 Zeile, letzte Spalte. Es gilt:
............. (10)
Aufgelöst nach f folgt: . .................(11)


Bild 3: Geometrie des verwendeten Dämpfers

Dämpfungsmessungen am konkreten Bauwerk (Gitterturm) zeigten sehr gute Dämpfungswerte. Die gemessenen Reaktionen konnten um etwa 14 bis 40% reduziert werden. Der Dämpfer hat so, wie beschrieben, kaum innere Dämpfung, Der Verfasser ist derzeit dabei, durch eine einfache Modifikation zusätzliche Dämpfung, ggf. auch nichtlinear, zu generieren.

4. Nutzung im Rechenmodell

Wie kann ein sog. Kugeldämpfer iun einem Rechenmodell erfasst werden?
Die Antwort ist einfach: Als ganz normale Masse, die an die Hauptstruktur angelenkt ist (Bild 4).
Bild 4: Modelle eines Kugeldämpfers

  • Die Masse m entspricht der Kugelmasse m_K, ggf. erhöht um den Kehrwert des Effizienzfaktors in Tabelle 2 letzte Spalte, um die Nachteile der Rotationsträgheit zu kompensieren.
  • Die Federsteifigkeit k ergibt sich zu: (siehe dazu Begründung unterhalb dieser Aufzählung).
  • Falls noch eine Dämpfung berücksichtigt werden soll, ist der Dämpfer parallel zur Feder zu schalten.
  • .

Begründung für die Formel zur Steifigkeit k: Die Kreisfrequenz des angefederten Einmassenschwingers soll gleich der Kreisfrequenz dee Kugel, vgl. Gl (3), sein:

oder mit Nutzung der zusammengefassten Formeln in der letzten Spalte von Tabelle 1:

Vollkugel: .

Für die anderen Fälle sind die Faktoren entsprechend anzupassen.

Das entspricht im Prinzip der Formel für das Pendel: mit korrigierter Pendellänge.

Referenzen

[1] Pirner,M., O. Fischer: The developement of a ball vibration absorber for the use on towers. In: Jour n. Int. Assoc. for Shell and Spatial Struct. Vol. 41, No.2 , 2000p 91-100.
Peil,U. (1993): Baudynamik. In: Stahhlbau Handbuch,Band I Teil A. Stahlbau-Verlagsgesellschaft mbH, Köln.
Petersen,C. (1996): Dynamik der Baukonstruktionen. Friedr. Vieweg&Sohn, Braun-schweig, Wiesbaden, 1996.
Petersen,C. (2001): Schwingungsdämpfer im Ingenieurbau. Herausgeber: Firma Mauer und Söhne, GmbH und Co KG, München.
Sauer,F.M., C.F.Garland (1949): Performance of the Viscously Damped Vibration Absorber to Systems having Frequency Squared Exitation. Journ. of Appl. Mech. 16,109-117
Wahle,M.(1984): Beitrag zur passiven Kontrolle schwach gedämpfter elastischer Strukturen mittels dynamischer Schwingungsdämpfer. Dissertation RWTH Aa-chen, 1984.