Flüssigkeitsdämpfer

1. Grundlagen

Bei nicht zu großen notwendigen Dämpfungswerten werden heute gern sog. Flüssigkeitsdämpfer eingesetzt. Eine Flüssigkeitsmenge in einem rechteckigen oder runden Behälter wird mit einer (nicht gefrierenden !! ) Flüssigkeit so weit befüllt, bis die Schwappfrequenz gleich der Bauwerkseigenfrequenz ist. Diese hängt ab von der Beckenform und der Wassertiefe. Die beim Schwappen entstehende Anprallkraft wirkt in Gegenphase und deshalb wie eine Dämpfung. Der Verfasser hat vor Jahren den Einsatz solcher Dämpfer, die den Vorzug der Wartungsarmut haben, soweit numerisch aufbereitet, dass heute nur noch eine Excel-Tabelle aktiviert werden muss. Die Dämpfungswerte wurden dafür in Abhängigkeit der relevanten Parameter experimentell ermittelt und formelmäßig - d.h. in Abhängigkeit der maßgebenenden Parameter - in ein Excel-Arbeitsblatt formelmäßig bestimmt.
Die Frequenz einer in einem rechteckigen Behälter der Länge L_K mit einer Füllhöhe h_K (vgl. Bild 1)


Bild 1: Bezeichnungen Behälter und Schwingungsformen

schwappenden Flüssigkeit beträgt:
. .......................... (1)

Eine Auswertung von Gleichung (1) für verschiedene Füllhöhen zwischen 200mm und 600mm variierende Beckenlängen ist in Bild 2 dargestellt.


Bild 2: Grundfrequenzen der schwappenden Flüssigkeit im rechteckigen Behälter

Scharparameter ist die Beckenlänge. g ist die Erdbechleunigung. Die Schwappfrequenz ist unabhängig von der Dichte der Flüssigkeit. Bei gleicher Füllhöhe sinkt die Schwappfrequenz mit zunehmender Beckenlänge.

2. Versuche

Da das Verhalten der Flüssigkeit stark von den in Bild 1 dargestellten Eigenformen abweicht (es treten turbulente Zustände auf) soll das Verhalten mit Hilfe von Versuchen beschieben werden. Die in einem Behälter schwappende Flüssigkeit besitzt Eigenschaften, die denen eines Einmassenschwingers, wie er für das System eines Schwingungsdämpfers angenommen wird , ähnlich sind. So schwappt die Flüssigkeit nachdem das Becken angestoßen wurde, mit einer mehr oder weniger konstanten Frequenz hin und her. Die Amplituden der Wellenbewegung nehmen wegen der Eigendämpfung der Wellenbewegung mit der Zeit ab. Näherungsweise kann die Wasserbewegung deshalb mit einem System bestehend aus

  • einer dynamisch aktiven Wassermasse Ms,
  • einer nicht an der Bewegung teilnehmenden Totmasse des Wassers Mt,
  • einer Feder fw
  • und einem Dämpferelement dw
  • .

beschrieben werden, vgl. Bild 3.


Bild 3: Mechanisches Modell für eine in einem Behälter schwappende Flüssigkeit

Eine solche Modellierung der Schwappbewegung wurde bereits 1957 von HOUSNER verwendet. Ziel der Versuche ist es, die vorstehenden Parameter mit Hilfe von in Schwingungsversuchen gewonnenen Messdaten zu identifizieren.

Die Versuche wurden im Institut für Stahlbau der Technischen Universität Braunschweig durchgeführt. Die Konzeption der Versuche basiert auf der Überlegung, das System Dämpfer vom Hauptsystem zu trennen und die Weggröße x(t) als Systemerregung vorzugeben. Die hierzu notwendige Erregerkraft F(t) ist die Summe aus Federkraft und Dämpferkraft sowie der Trägheitskraft der Totmasse. Werden der Systemeingang x(t) sowie der Systemausgang F(t) gemessen, können die freien Parameter des Dämpfersystems md, kd, dd so bestimmt werden, dass sich eine bestmögliche Übereinstimmung zwischen der gemessenen Erregerkraft und der auf Basis der identifizierten Parameter des Systems Dämpfer unter x(t) als Systemerregung berechneten Erregerkraft ergibt.
In Bild 3 ist die Prinzipskizze des Versuchsaufbaus dargestellt. Der Versuchsaufbau besteht aus folgenden Komponenten: a) Flüssigkeitsbehälter mit Wasserfüllung b) Linearlager aus Kugelgelenkbuchsenführungen c) Hydraulikzylinder d) Kraftmessdose e) Wegsensor f) Dehnungsmessstreifen

In Bild 4 ist der Aufbau bildhaft dargestellt:

Bild 4: Versuchsaufbau

Der Flüssigkeitsbehälter - mit konstanter Breite 300 mm - wird durch den Hydraulikzylinder auf einer quasi reibungsfreien Führung bewegt. Hierdurch ist es möglich, Frequenz und Amplitude der Bewegung zu steuern, um das Verhalten des Systems in verschiedenen Bewegungszuständen studieren zu können. Die Bewegung wird durch einen elektronischen Regelkreis als harmonische Bewegung mit konstanter Frequenz und Amplitude vorgegeben. Die eingestellte Amplitude wird nicht sofort, sondern linear zunehmend mit einer Geschwindigkeit von ca. 10 mm/s aufgebracht. Dir Regelung des Kraftzylinders wird so gesteuert, dass der Wasserbehälter eine sinusförmige Bewegung mit der Amplitude x-Dach und der Frequenz f machtvgl. Gl. (2)
. ........................ (2)

Die Kraftmessung wird mit einer Kraftmessdose der Fa. Hottinger durchgeführt. Diese ist in Reihe mit der Schubstange geschaltet. Auf deer Behälter-Rückwand wird ein Dehnungsmessstreigen geklebt, um die anschlagende Welle und deren Zeitpunkt messen zu können. Die Abtastung wurde mit einer Frequenz von 200 Hz durchgeführt.

Im folgenden Video ist ein Ausschnitt aus der Versuchsdurchführung zu sehen, Ein Wasserbehälter wird (nahezu reibungsfrei) von einer Schubstange geregelt bewegt. Die Bewegung wird von einem induktiven Weggeber gemessen. Der Weg wird sinusförmig vorgegeben, die dazu erforderlichen Kräfte werden über einen Kraftaufnehmer an der Schubstange gemessen.


Video 1: Versuch zur Ermittlung der Dämpfungswirkung bei einem Flüssigkeitsdämpfer

Zur Kalibrierung wurde ein Bezugsversuch ohne Wasserdurchgeführt. Die gemessene Kraft entspricxht im Wesentlichen den Trägheitskräften, die Reibkräfte bleiben vernachlässigbar klein. In Bild 5 sind zunächst die Rohmessdaten eines ausgewählten Versuchs graphisch dargestellt:


Bild 5: Rohmessdaten von Behälterweg x(t), Dehnung der Behälterwandung und Erregerkraft F(t)

Die Regelung über ein Servoventil erzeigt hochfrequente Kraftstöße. Diese sind im Kraftverlauf (unteres Teilbild von Bild 5 deutlich zu erkennen. Die Rohdaten wurden für die Weiterverarbeitung signaltechnsich aufbereitet, z.B. gefiltert (Bild 6) nd durch eine Fouriertransformation in der Frequenzbereich transformiert (Bild7).


Bild 6: Gefilterte Messdaten für Systemidentifikation

Es ist festzuhalten, dass sich die Kräfte aus dem schwappenden Wasser mit zunehmender Erregerfrequenz impulsartiger absetzen. Eine Fourier-Analyse der Erreger-kräfte ergibt deshalb, bei zunehmender Erregerfrequenz bezogen auf die theoretische HOUSSNER-Frequenz, auch ungerade ganzzahlige Vielfache der Eigenfrequenz.

.
Bild 6: Erregung unterhalb der HOUSNER-Frequenz... Bild 7: Erregung oberhalb der HOUSNER-Frequenz.
.

Offenbar wären also für hohe Erregerfrequenzen sowie große Wegamplituden weitere Freiheitsgrade für eine verbesserte Modellapproximation zu berücksichtigen. Darauf wurde hier allerdings verzichtet.
Im Rahmen dieser Untersuchungen soll jedoch lediglich das in Bild 3 dargestellte Einfreiheitsgradmodell identifiziert werden. Es wird deshalb eine weitere Tiefpassfilterung durchgeführt, deren Grenzfrequenz an die Grundfrequenz, bzw. an die Beckenlänge angepasst ist.

Es wurde ein großer Bereich der Parametern des Flüssigkeitsschwingungsdämpfers untersucht, um einen möglichst breiten Anwendungsbereich der Untersuchungsergebnisse sicherzustellen. Es wurden Beckenlängen zwischen L=200 mm und L=605 mm, Füllhöhen zwischen 100 mm und 250 mm, Schwingungsamplituden zwischen 5 mm und 80 mm, sowie relative Erregerfrequenzen zwischen 0,6 und 1,8 in den Versuchen eingestellt.
Zur mathematischen Beschreibung des Flüssigkeitsdämpfers wird von dem in Bild 8 dargestellten, linearen und stationären mechanischen Modell ausgegangen. Dieses Modell besitzt eine schwingfähige Masse und eine starre Masse, die sog. Totmasse. Beide Massen sind mit der Behälterwandung gekoppelt sind. Die Kopplung der schwingfähi-gen Masse erfolgt über ein lineares Feder- und ein viskoses Dämpferelement.


Bild 8: Modell des Flüssigkeitsdämpfers mit einem Bewegungsfreiheitsgrad

Das Modell besitzt vier Systemparameter (Ms, Mt, ks ,ds) und bei Vorgabe von x(t) einen Freiheitsgrad xs(t) und ist auch nach Untersuchungen von VERWIEBE bei kleinen Schwingungsamplituden im Allgemeinen ausreichend [Verwiebe1998]. Diese Aussage deckt sich auch mit den in Abbildung 2.6 dargestellten Ergebnissen.

3. Systemidentifikation

Im Versuch werden die, für die vorgegebenen Weg-Amplituden x(t) notwendigen Erregerkräfte F(t) gemessen. Die Bewegung xs(t) der Schwappmasse Ms ist ebenso wie die Systemparameter unbekannt und kann nicht beobachtet werden. Die Bestimmung der unbekannten Systemparameter erfolgt durch iterative Anpassung und Vergleich der berechneten Erregerkraft mit der gemessenen Erregerkraft mittels des in Abbildung 3.1 dargestellten im Modells. 3.2.1 Randbedingungen Für die zu identifizierenden Parameter werden Grenzwerte festgelegt, innerhalb derer sich die identifizierten Parameter bewegen müssen. So wird verlangt, dass die Dämpfung ds und die Steifigkeit ks stets Werte größer Null annehmen müssen. Die Schwappmasse Ms wird als dynamisch äquivalente Masse nach HOUSNER vorgegeben:
. ...................... (3)

Eine Berücksichtigung der Schwappmasse als zusätzlicher Freiheitsgrad führte nicht zu einer verbesserten Modellbeschreibung.
In Abbildung 3.2 ist das Ergebnis der Systemidentifikation am Beispiel für einen Versuch und als Nachweis der Güte der Modellbildung dargestellt. Die identifizierten Parameter sind ebenfalls in der Abbildung 3.2 angegeben.


Bild 9: Vergleich der Messdaten und der Ergebnisse des identifizierten Versuchs

Einige Versuche mit L=605 mm und mit einer Beckenfüllung von 100mm, 120mm und 150 mm wurden zweimal wiederholt, um die Wiederholgenauigkeit sowohl der Versuchsdurchführung als auch der Systemidentifikation zu bewerten. Wie zu erwarten zeigten sich Streuungen der Ergebnisse, dies insbesondere im Bereich niedriger Erregerfrequenzen. Ohne hier weiter auf die Statistik der Versuchsergebnisse einzugehen soll noch ein Sicherbeiwert für die Dämpfungswerte bestimmt werden.
Die Festlegung eines Sicherheitsbeiwertes zur Berücksichtigung der Streuung für das Lehrsche Dämpfungsmaß kann deshalb gestaffelt erfolgen. Legt man den 5% Quantilwert (μ-1,65⋅σ) als Bemessungsniveau zugrunde ergibt sich bei einem Variationskoeffizienten von 20% - und Vorgabe eines Quantilwertes von 5% - ein Teilsicherheitsbeiwert von . ..................... (4)
Für die stärker streuenden Ergebnisse im Bereich geringer Frequenzen gilt dagegen:
. ......................(5)
Es wird deshalb empfohlen die sich ergebenden Dämpfunsgmaße durch den Teilsicherheistbeiwert:
.......................(6)
zu dividieren, um die versuchsbedingten Streuungen abzudecken.

Multivariate, nichtlineare Regessionsanalyse

Die Anhand der Systemidentifikation bestimmten Parameter des mechanischen Ersatz-modells sollen für die Entwicklung einer einfachen Bemessungshilfe durch eine algebrai-sche Lösung beschrieben werden. Wichtigster Parameter ist das Lehrsche Dämpfungsmaß. Beeinflussende Größen sind

  • die relative Schwingungsamplitude
  • die relative Erregerfrequenz
  • die Dämpferschlankheit
  • die Beckenlänge
    .
    Als Modellfunktion mit den vorstehenden vier Veränderlichen wird zur Beschreibung des Lehrschen Dämpfungsmaßes die nachstehende Polynomfunktion (12) bis zum Grad vier gewählt. . .................. (7)
    Die Bestimmung der Koeffizienten pijkl erfolgt mittels nichtlinearer Regressionsanalyse [Seber2003] in Kombination mit einer robusten Funktionsapproximation durch biquadrati-sche Wichtung der Messwerte [DuMouchel1989]. Zusätzlich wird die Modellgüte als Gewichtsfunktion berücksichtigt. Die gleiche Modellfunktion wird auch zu Beschreibung der Grundfrequenz des Flüssigkeitsschwingungsdämpfers verwendet. In Bild 10 ist die ermittelte räumliche Funktionim Vergleich zu den Messwerten dargestellt. Man erkennt, dass die Funktion die Messwerte gut wiedergibt. Die Ergebnisfunktionen wurden in ein Excel ARbeitsblatt einprogrammiert, in dem gleichzeitig die Berechnung des SChornsteins durch Reduktion auf ein generalisiertes Modell reduziertes System durchgeführt wird. Bild 11 zeigt das Arbeitsblatt.


Bild 11: Excel-Arbeitsblatt zum einfachen Nachweis des gedämpften Schornsteins. Ein Ergebnis dieser Berechnung ist z.B. der in Bild 12 dargestellte Amplitudengang des gedämpften Hauptsystems (Schornstein).


Bild 12: Amplitudengang des gedämpften Schornsteins

Referenzen

[Petersen1997] Petersen, C.: Stahlbau, Vieweg Verlag, 1997
[YU2010] Yu, J.-K.; Wakahara, T. & Reed, D. A.: A non-linear numerical model of the tuned liquid damper. Earthquake Engineering and structural Dynamics, 28, 671-686, 1999
[DINV4133] DIN V 4133: Freistehende Stahlschornsteine, Juli 2007
[DIN1055-4] DIN 1055-4: Einwirkungen auf Tragwerke - Teil4: Windlasten, März 2005
[Verwiebe1998] Verwiebe, C.: Grundlagen für den baupraktischen Einsatz von Schwingungsdämpfern auf Flüssigkeitsbasis. DIssertation RWTH Aachen, 1998
[Seber2003] Seber, G. A. F. & Wild, C. J.: Nonlinear Regression. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 2003
[DuMouchel1989] DuMouchel, W. H. & O'Brien F. L.: Integrating a Robust Option into a Multiple Regression Computing Environment. Computer Science and Statistics: Proceedings of the 21st Sym-posium on the Interface. Alexandria, VA: American Statistical Association, 1989.
[Petersen2001] Petersen, C.: Dynamik der Baukonstruktionen, Vieweg Verlag, 2001
[Peil-1] Peil,U.: Baudynamik. In Stahlbau-Handbuch 1A, Stahlbauverlagsgesellschaft, Köln, 1993.
[Peil-2] Peil,U.: Baudynamik für die Praxis. In: Stahlbau-Kalender 2008, Hrgb. U. Kuhlmann, Ernst&Sohn, Berlin, 2008, p.390-476.