Einsatz passiver, dynamischer Zusatzdämpfer

Wenn Lösungen mit passiven Tilgern nicht möglich sind, muss ein dynamische Schwingungsdämpfer eingesetzt werden. Dieser erfordert naturgemäß eine sorgfältige Beobachtung während des Betriebes und ggf. Wartung.
Er stellt, mechanisch gesehen, eine federnd und dämpfend gelagerte Zusatzmasse dar. Wenn die Zusatzmasse mit der Feder auf die Eigenfrequenz des schwingenden Bauwerks eingestellt werden, geht der Dämpfer bei Schwingung des Hauptsystems in Gegenphase, d.h. Bauwerk und Dämpfermasse schwingen nicht parallel, sondern gegeneinander. Der dabei entstehende Weg wird genutzt, um einen Dämpfer dazwischenzuschalten, der die Energie dissipiert. Bild 9 zeigt die Prinzipskizze am Beispiel eines Stahlkamins:


Bild 9: Anbringung eines Zusatzdämpfers (Prinzip)

Durch das Anbringen der zweiten Masse wird aus dem ursprünglichen Einmassenschwinger (mit der generalisierten Masse M) die ursprüngliche Resonanzspitze in zwei benachbarte Resonanzspitzen aufgespalten. Das Dämpferelement dient dazu, die neuen Resonanzspitzen in ihrer Größe zu beschränken. Wenn das System mit langsam anwachsender Dämpfung berechnet wird, zeigt es sich, dass eine Resonanzspitze weniger gedämpft wird als die andere (Bild 9: Kurve b, c). Die optimale Dämpfung ist offenbar dann erreicht, wenn beide Resonanzspitzen gleich groß werden (Bild 10: Kurve d), vgl. (Petersen, 1996). Wenn die Dämpfung deutlich größer wird als die optimale Dämpfung, blockiert das Dämpferelement immer stärker die schwingende Zusatzmasse, diese wird damit sozusagen starr an das Bauwerk gekoppelt, es entsteht also wieder ein Einmassenschwinger mit der neuen Gesamtmasse M+m (Kurve e,f in Bild 10). Wegen der größeren Gesamtmasse ist die Resonanzspitze leicht nach links gewandert.


Bild 10: Wirkung von unterschiedlich abgestimmten Dämpfern

Die für die optimale Dämpfung erforderlichen Systemabstimmungsparameter nach Den Hartog (Den Hartog, 1952) werden im Folgenden angegeben. Voraussetzung ist eine frequenzkonstant einwirkende Kraftamplitude. M ist die generalisierte Masse des Hauptsystems ohne Dämpfer, m ist die Dämpfermasse. Bei einem Massenverhältnis von
.............(3)

ergibt sich die günstigste Frequenzabstimmung zu
.............(4)

hierin ist f_D die Eigenfrequenz der ungekoppelten Zusatzmasse, f_H ist die ungekoppelte Eigenfrequenz des Haupttragwerkes mit seiner generalisierten Masse. Ungekoppelt soll heißen: Ohne das Zusammenwirken betrachtet. Das optimale Lehrsche Dämpfungsmaß ξ_opt für die Zusatzdämpfung folgt aus:
.............(5)

Das Lehrsche Dämpfungsmaß, auch kritisches Dämpfungsverhältnis genannt, hängt mit dem logarithmischen Dämpfungsdekrement δ wie folgt zusammen: es gilt δ=2 π ξ, vgl. Grundlagen. Der größte Schwingungsausschlag des gedämpften Systems folgt damit zu:
.............(6)

Die angegebenen Formeln gelten für den Fall, dass die einwirkende Kraft frequenzkonstant ist, d.h. sie behält ihre Größe unabhängig von der Frequenz. Bei der Kármánschen Wirbelerregung von kreiszylindrischen Bauwerken trifft dies nicht mehr zu, da die Wirbelablösefrequenz proportional zur Windgeschwindigkeit ist, der Geschwindigkeitsdruck (Staudruck) aber quadratisch mit der Windgeschwindigkeit und damit mit der Frequenz steigt. Das gleiche gilt für Unwuchterregung, die Kraft steigt hier mit dem Quadrat von omega! Die oben angegebenen Formeln gelten dann nicht mehr streng.
Die optimale Frequenzabstimmung bei frequenzquadratischer Anregung ergibt sich zu:
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und die optimale Dämpfung zu
.............(8)

Weitere Hinweise hierzu sind in (Sauer 1949 bzw. Wahle 1984) gegeben. Bereits sehr kleine Zusatzmassen (2% bis 5% der generalisierten Tragwerksmasse) führen zu einem starken Anwachsen der effektiven Dämpfung.
Eine Abweichung von der optimalen Dämpfung hat nur einen geringfügigen Einfluss, Abweichungen bei der Frequenzabstimmung haben dagegen starken Einfluss. Ein Dämpfer, der unterhalb seiner Abstimmung betrieben wird, hat praktisch kaum noch eine Wirkung. Ein Betreiben oberhalb der Abstimmung führt zwar zu einer schlechteren Dämpfungswirkung als bei der optimalen Dämpfung, hat aber nicht die drastischen Auswirkungen wie bei einem Betreiben unterhalb der Abspannung. Es empfiehlt sich daher, die Abstimmung vorsichtshalber etwas tiefer als die zu dämpfende Tragwerksfrequenz zu legen, um Ungenauigkeiten abzufangen.
Im Bild 11 sind einige heute eingesetzte Dämpfertypen dargestellt.


Bild 11: Prinzipielle Typen von Dämpfern

Da die technische Realisierung einer sich horizontal bewegenden Masse ziemlich aufwendig ist, wird bei horizontalen Schwingungen gern ein Pendel eingesetzt,. Das Pendel bezieht seine Federsteifigkeit su der Rücktriebskraft der ausgelenkte Masse. Bei kleinen Verformungen sin phi etwa gleich phi, handelt es sich sogar um eine lineare Feder!
Die Federsteifigkeit wird hierbei aus der Rücktriebskraft der Pendelmasse infolge der Erdanziehung gewonnen. Wenn keine Rotation der Zusatzmasse auftritt, gilt für die Eigenfrequenz die des mathematischen Pendels mit der Pendellänge lp:
.............(9)

Die zugehörige Federsteifigkeit für numerische Berechnung des Pendels als federgekoppelte Masse ergibt sich daraus zu:
.............(10)

Wenn Rotationen der Pendelmasse auftreten, kann der Einfluss durch eine sog. reduzierte Pendellänge erfasst werden. Tafeln zur Ermittlung der reduzierten Pendellänge sind in (Klotter, 1955) enthalten. Der Einfluss der Rotationsträgheit kann ausgeschaltet werden, indem eine Masse wie in Bild 12 dargestellt aufgehängt wird. Hierbei rotiert die Masse nicht mehr und die einfache Formel für das mathematische Pendel kann genutzt werden:

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Bild 12: Pendeldämpfer ohne Rotationsträgheit

Der Verfasser hat auf diese Weise - bei Türmen in der Wüste - Dämpfer unter die Kanzeln von stark schwingenden Beobachtungstürmen ausgeführt, in dem eine Sandkiste an vier Seilen unter dem Kabinenboden abgehängt und mit Sand gefüllt wurde (davon gab es ausreichend). Unter dem Kabinenboden wurde dann ein Stab als vertikaler Kragarm angebracht, der in den Sand der Kiste hineinragte. Die Kiste schwang dabei also um den "Rührstab" herum und nicht - wie üblich - umgekehrt. Die Eintauchtiefe wurde so angepasst, dass die Schwingungen verschwanden. Damit war die optimale Dämpfung zumindest näherungsweise erreicht.

Bei nicht zu großen notwendigen Dämpfungswerten werden heute sehr gern sog. Flüssigkeitsdämpfer eingesetzt. Eine Flüssigkeitsmenge in einem rechteckigen oder runden Behälter wird mit einer (vorzugsweise nicht gefrierenden) Flüssigkeit so weit befüllt, bis die Schwappfrequenz gleich der Bauwerkseigenfrequenz ist. Diese hängt ab von der Beckenform und der Wassertiefe. Die beim Schwappen entstehende Anprallkraft wirkt in Gegenphase und deshalb wie eine Dämpfung. Siehe Abschnitt Flüssigkeitsdämpfer.