Ausnutzung von System-Nichtlinearitäten

Gelegentlich werden auch große effektive Dämpfungen dadurch erzeugt, dass nicht-lineares Verhalten systematisch ausgenutzt wird. Die ursprünglich geraden "Resonanzschläuche" krümmen sich seitlich weg. Wenn die Steifigkei mit wachsnder Verformung ansteigt, steigt damit auch die momentabne Eigenfrequenz des Systems, der Resoananzschlauch krümmt sich nach rechts (Bild1).

Bild 1: Frequenzgang bei linearen (rot) und nichtlinearen (blau) Systemen

Entscheidend ist hierbei, dass die Spitzen nicht erreicht werden, weil am Punkt A ein Sprung auf den unteren Kurvenast, (Punkt B) stattfindet, da dieser Zustand mit geringerer Energie erreichbar ist. Die hohe Spitze wird also umgangen. Dadurch sinken die Reaktionen beträchtlich.
Für abgespannte Maste wurde diese Eigenschaft systematisch untersucht. Hierzu wurde ein System mit allen Nichtlinearitäten im Zeitbereich behandelt und die aufgetretenen Verformungen bestimmt. Parallel dazu wurde eine Systemberechnung im Frequenzbereich (also unter Voraussetzung linearen Verhaltens) durchgeführt und hierbei die Dämpfung solange vergrößert, bis die gleichen maximalen Verformungen erreicht waren. Wenn man also mit diesen Ersatzdämpfungen und linearen Berechnungen arbeitet, wird man das Verhalten des in Wirklichkeit nichtlinearen Systemns näherungsweise beschreiben.
In Bild 3 ist das Vorgehen schematisch dargestellt. Links ist der Frequenzgang des linearen Systems zu sehen. Das nichtlineare Verhalten des seilabgespannten Mastes wird durch eine Berechnung um den sog. Arbeitspunkt näherungsweise erfasst. Der Arbeitspunkt wird mit Hilfe einer nichtlinearen statischen Berechnung des Mastes (unter Berücksichtigung der NIchtlinearitäten aus dem Seildurchhang und der Theorie 2. Ordnung) unter dem mittleren Wind bestimmt. Um diesen Arbeitspunkt herum finden dann lineare Schwingungen statt, die sich in Form einer Tangente an die nichtlineare Kurve darstellen lassen, vgl. Bild 2.

Bild 2: Berechnung des dynamischen Verhaltens um den Arbeitspunkt


Bild 3: Lineare und nichtlineare Berechnung eines Mastes mit Sprungphänomenen

Beispiel hierfür sind Seilabspannungen. Durch die Nichtlinearität der Seile ändert sich die Seilsteifigkeit in Abhängigkeit von der Auslenkung. Durch die sich ändernde Steifigkeit ändern sich aber auch die zugehörigen Eigenfrequenzen: das System verstimmt sich kontinuierlich, so dass eine Erregung mit konstanter Frequenz keine konstante Eigenfrequenz mehr vorfindet. Theoretisch sind die Resonanz"schläuche" gekrümmt, bei harmonischer Erregung werden nur noch kleine Resonanzspitzen (mit Sprungphänomenen) festgestellt. Die resultierende Dämpfung der Seile steigt stark an, wenn die Seilvorspannung gering ist, d.h. wenn die Nichtlinearitäten groß sind. Bild 4 zeigt das das Ansteigen des logarithmischen Dekrements in Abhängigkeit der Vorspannung, dargestellt durch das Durchhang zu Seillängen-Verhältnis (Abszisse: s/f) und der im Seilanschlusspunkt angreifenden Kraft F (Peil, 1992).


Bild 4: Ersatzseildämpfung zur Erfassung der durch die Seilnichtlinearität hervorgerufenen Dämpfung

Solche Diagramme sind für unterschiedliche Systemkonfigurationen durchgeführt worden. Die gesamte Systemdämpfung steigt dabei stets stark an. Der Verfasser rechnet bei abgespannten Masten daher i.a. mit einer mittleren Dämpfung von ca. 0,20 bei Böenbelastung. Bei Querschwingungserregung findet, wegen der dazugehörenden sehr geringen kritischen Windlasten, deutlich geringere Verformungen auf als unter der maximalen Böenlast. Deshalb kann hierbei nach wie vor von einem linearen Verhalten ausgegangenwerden, das mit den üblichen geringen Dämpfungsinkrementen einherhgeht: 0,02 o.ä.)

Referenzen:

Peil,U., H. Nölle, Z.H. Wang: Dynamisches Verhalten abgespannter Maste. VDI-Berichte Nr. 978, 1992,
Peil, U: Maste und Türme. In: Stahlbau-Kalender, W. Ernst&Sohn, 2004, p.494-602.